解説

方針・初手

$f(x)$ は指数関数と一次関数の和であるが，$e^x$ を文字で置くと極値条件が二次方程式に帰着する。

そこで

$$ u=e^{x-1}\ (>0)

$$

とおく。すると $e^x=eu,\ e^{2x}=e^2u^2,\ x=1+\ln u$ であり，$f'(x)$ は $u$ の二次式になる。極大値と極小値をそれぞれただ一つずつもつ条件は，この二次方程式が正の異なる2解をもつ条件に言い換えられる。

解法1

まず

$$ f(x)=e^{2x}+10se^{x+1}+2e^2x

$$

より，

$$ f'(x)=2e^{2x}+10se^{x+1}+2e^2

$$

である。ここで $u=e^{x-1}$ とおくと，

$$ f'(x)=2e^2(u^2+5su+1)

$$

となる。したがって極値を与える $x$ は，

$$ u^2+5su+1=0 \qquad (u>0)

$$

の解に対応する。

**(1)**

$f(x)$ が極大値と極小値をそれぞれただ一つずつとるためには，$f'(x)=0$ が異なる2つの実数解をもち，しかもそれらがともに正の $u$ に対応すればよい。

二次方程式

$$ u^2+5su+1=0

$$

が正の異なる2解をもつ条件は，

• 判別式が正：$25s^2-4>0$
• 解の和が正：$-5s>0$

である。解の積は $1>0$ なので，和が正なら2解はともに正である。

よって

$$ s<-\frac25

$$

が必要十分である。

次に

$$ s=\frac{t}{t^2+4t+9}

$$

より，

$$ s+\frac25 =\frac{5t+2(t^2+4t+9)}{5(t^2+4t+9)} =\frac{2t^2+13t+18}{5(t^2+4t+9)} =\frac{(2t+9)(t+2)}{5(t^2+4t+9)}

$$

である。分母は常に正だから，

$$ s<-\frac25 \iff (2t+9)(t+2)<0 \iff -\frac92<t<-2

$$

となる。

**(2)**

$u^2+5su+1=0$ の2解を $u_1,\ u_2$ とする。$u_1<u_2$ とすれば，対応する極値点は

$$ x_1=1+\ln u_1,\qquad x_2=1+\ln u_2

$$

である。

$f(x)$ を $u$ で表すと，

$$ f(x)=e^2u^2+10se^2u+2e^2(1+\ln u) =e^2\bigl(u^2+10su+2+2\ln u\bigr)

$$

である。ここで $u_i$ は $u_i^2+5su_i+1=0$ を満たすから，

$$ u_i^2=-5su_i-1

$$

より，

$$ u_i^2+10su_i+2=5su_i+1

$$

となる。したがって

$$ f(x_i)=e^2\bigl(5su_i+1+2\ln u_i\bigr)

$$

である。ゆえに

$$ L=f(x_1)+f(x_2) =e^2\Bigl(5s(u_1+u_2)+2+2\ln(u_1u_2)\Bigr)

$$

となる。

二次方程式の解と係数の関係から，

$$ u_1+u_2=-5s,\qquad u_1u_2=1

$$

なので，

$$ L=e^2\bigl(5s(-5s)+2+2\ln1\bigr) =e^2(2-25s^2)

$$

を得る。

**(3)**

(1) の範囲で $L=e^2(2-25s^2)$ を最小にするには，$s^2$ を最大にすればよい。

そこで $s(t)=\dfrac{t}{t^2+4t+9}$ の増減を調べる。

$$ s'(t)=\frac{(t^2+4t+9)-t(2t+4)}{(t^2+4t+9)^2} =\frac{9-t^2}{(t^2+4t+9)^2}

$$

であるから，$s(t)$ は $t=-3$ で最小となる。(1) の範囲 $-\dfrac92<t<-2$ の中にも $t=-3$ は含まれる。

このとき

$$ s(-3)=\frac{-3}{9-12+9}=-\frac12

$$

であるから，

$$ L_{\min}=e^2\left(2-25\cdot\frac14\right) =-\frac{17}{4}e^2

$$

となる。

**(4)**

$t=-3$ のとき $s=-\dfrac12$ であるから，極値条件は

$$ u^2-\frac52u+1=0

$$

すなわち

$$ 2u^2-5u+2=0

$$

であり，

$$ u=\frac12,\ 2

$$

を得る。したがって

$$ x_1=1-\ln2,\qquad x_2=1+\ln2

$$

である。

またこのとき

$$ f(x)=e^{2x}-5e^{x+1}+2e^2x

$$

なので，

$$ I=\int_{x_1}^{x_2}f(x),dx =\int_{1-\ln2}^{1+\ln2}\left(e^{2x}-5e^{x+1}+2e^2x\right),dx

$$

である。原始関数は

$$ \frac12e^{2x}-5e^{x+1}+e^2x^2

$$

だから，

$$ I=\left[\frac12e^{2x}-5e^{x+1}+e^2x^2\right]_{1-\ln2}^{1+\ln2}

$$

となる。計算すると，

$$ I=e^2\left(\frac{15}{8}-\frac{15}{2}+4\ln2\right) =e^2\left(4\ln2-\frac{45}{8}\right)

$$

を得る。

解説

極値の個数を調べるとき，$e^x$ を新しい文字で置くのが典型である。本問では $u=e^{x-1}$ とおくことで，$f'(x)=0$ が二次方程式になり，正の異なる2解をもつ条件に落とせる。

また，極値での関数値の和 $L$ は，各極値点を直接求めなくても，解と係数の関係 $u_1+u_2,\ u_1u_2$ を使えば簡潔に処理できる。ここが計算の要点である。

答え

**(1)**

$$ -\frac92<t<-2

$$

**(2)**

$$ L=e^2(2-25s^2)

$$

**(3)**

$$ t=-3,\qquad L_{\min}=-\frac{17}{4}e^2

$$

**(4)**

$$ I=e^2\left(4\ln2-\frac{45}{8}\right)

$$