解説

方針・初手

点 $Q_k$ は $z$ 軸上にあるので，まずその $z$ 座標を求める。すると，三角錐 $OP_kP_{k+1}Q_k$ の体積は，底面を三角形 $OP_kP_{k+1}$，高さを $Q_k$ の $z$ 座標として表せる。

その結果，$\sum V_k$ はリーマン和になり，極限は定積分に帰着される。

解法1

$P_k$ の座標は

$$ P_k\left(\frac{k}{n},1-\frac{k}{n},0\right)

$$

である。

また，$Q_k$ は $z$ 軸上にあるから，

$$ Q_k=(0,0,z_k)\qquad (z_k\geqq 0)

$$

とおける。条件 $P_kQ_k=1$ より，

$$ \left(\frac{k}{n}\right)^2+\left(1-\frac{k}{n}\right)^2+z_k^2=1

$$

したがって，

$$ z_k^2 =1-\left\{\left(\frac{k}{n}\right)^2+\left(1-\frac{k}{n}\right)^2\right\} =2\frac{k}{n}\left(1-\frac{k}{n}\right)

$$

となるので，

$$ z_k=\sqrt{2\frac{k}{n}\left(1-\frac{k}{n}\right)}

$$

である。

次に，三角形 $OP_kP_{k+1}$ の面積を求める。$xy$ 平面内で考えると，

$$ P_k=\left(\frac{k}{n},1-\frac{k}{n}\right),\qquad P_{k+1}=\left(\frac{k+1}{n},1-\frac{k+1}{n}\right)

$$

であるから，その面積は

$$ \frac12 \left| \begin{vmatrix} \frac{k}{n} & 1-\frac{k}{n} \\ \frac{k+1}{n} & 1-\frac{k+1}{n} \end{vmatrix} \right|

$$

で与えられる。行列式を計算すると，

$$ \begin{aligned} \frac{k}{n}\left(1-\frac{k+1}{n}\right) -\frac{k+1}{n}\left(1-\frac{k}{n}\right) &= \frac{k}{n}-\frac{k(k+1)}{n^2} -\frac{k+1}{n} +\frac{k(k+1)}{n^2} \\ &=-\frac1n \end{aligned}

$$

となるので，

$$ [OP_kP_{k+1}]=\frac{1}{2n}

$$

である。

よって，三角錐 $OP_kP_{k+1}Q_k$ の体積 $V_k$ は

$$ V_k=\frac13\cdot \frac{1}{2n}\cdot z_k =\frac{1}{6n}\sqrt{2\frac{k}{n}\left(1-\frac{k}{n}\right)}

$$

となる。

したがって，

$$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n-1}V_k &= \frac16\cdot \frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{2\frac{k}{n}\left(1-\frac{k}{n}\right)} \end{aligned} $$

である。ここで $f(x)=\sqrt{2x(1-x)}$ とおくと，右辺は区間 $[0,1]$ におけるリーマン和だから，

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}V_k &= \frac16\int_0^1\sqrt{2x(1-x)},dx \end{aligned} $$

となる。

あとは積分を計算すればよい。$x=\dfrac{1+\sin\theta}{2}$ とおくと，

$$ dx=\frac12\cos\theta,d\theta,\qquad x(1-x)=\frac{\cos^2\theta}{4}

$$

であり，$x:0\to 1$ のとき $\theta:-\dfrac{\pi}{2}\to \dfrac{\pi}{2}$ となる。したがって，

$$ \begin{aligned} \int_0^1\sqrt{2x(1-x)},dx &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{2\cdot \frac{\cos^2\theta}{4}}\cdot \frac12\cos\theta,d\theta \\ &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sqrt2}{4}\cos^2\theta,d\theta \\ &= \frac{\sqrt2}{4}\cdot \frac{\pi}{2} \\ &= \frac{\pi\sqrt2}{8} \end{aligned}

$$

よって，

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}V_k &= \frac16\cdot \frac{\pi\sqrt2}{8} \\ \frac{\pi\sqrt2}{48} \end{aligned} $$

である。

解説

各三角錐の底面 $OP_kP_{k+1}$ はすべて $xy$ 平面内にあり，その面積が $k$ によらず一定であることがこの問題の要点である。

すると体積の違いは高さ，すなわち $Q_k$ の $z$ 座標だけで決まり，和がそのままリーマン和になる。極限を見抜くには，まず「1個の体積をきれいに書く」ことが最重要である。

答え

$$ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}V_k=\frac{\pi\sqrt2}{48}

$$