基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題285 解説
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解説
方針・初手
絶対値の中身は $(\log x)^2-a^2$ である。$t=\log x$ とおくと，区間 $1\leqq x\leqq e$ は $0\leqq t\leqq 1$ に移り，符号の変わる点は $t=a$ になる。したがって，$0<a<1$ を用いて積分区間を $[0,a]$ と $[a,1]$ に分ける。
解法1
$t=\log x$ とおくと，$x=e^t$，$dx=e^t,dt$ であり，$x=1$ のとき $t=0$，$x=e$ のとき $t=1$ である。
よって
$$ F(a)=\int_0^1 |t^2-a^2|e^t,dt
$$
となる。
$0<a<1$ より，$0\leqq t<a$ では $t^2-a^2<0$，$a<t\leqq 1$ では $t^2-a^2>0$ である。したがって
$$ F(a)=\int_0^a (a^2-t^2)e^t,dt+\int_a^1 (t^2-a^2)e^t,dt
$$
である。
ここで
$$ \int t^2e^t,dt=(t^2-2t+2)e^t
$$
を用いる。
まず，
$$ \begin{aligned} \int_0^a (a^2-t^2)e^t,dt &=a^2\int_0^a e^t,dt-\int_0^a t^2e^t,dt \\ &=a^2(e^a-1)-\left[(t^2-2t+2)e^t\right]_0^a \\ &=a^2(e^a-1)-{(a^2-2a+2)e^a-2} \\ &=2(a-1)e^a+2-a^2 \end{aligned}
$$
である。
また，
$$ \begin{aligned} \int_a^1 (t^2-a^2)e^t,dt &=\int_a^1 t^2e^t,dt-a^2\int_a^1 e^t,dt \\ &=\left[(t^2-2t+2)e^t\right]_a^1-a^2(e-e^a) \\ &=e-(a^2-2a+2)e^a-a^2e+a^2e^a \\ &=e(1-a^2)+2(a-1)e^a \end{aligned}
$$
である。
よって
$$ \begin{aligned} F(a) &={2(a-1)e^a+2-a^2}+{e(1-a^2)+2(a-1)e^a} \\ &=e+2-(e+1)a^2+4(a-1)e^a \end{aligned}
$$
となる。
次に，この $F(a)$ を $0<a<1$ で最小にする $a$ を求める。
$$ F(a)=e+2-(e+1)a^2+4(a-1)e^a
$$
より，
$$ \begin{aligned} F'(a) &=-2(e+1)a+4{(a-1)e^a}' \\ &=-2(e+1)a+4ae^a \\ &=2a{2e^a-(e+1)} \end{aligned}
$$
である。
$0<a<1$ なので，$2a>0$ である。したがって，$F'(a)=0$ となるのは
$$ 2e^a-(e+1)=0
$$
すなわち
$$ e^a=\frac{e+1}{2}
$$
のときである。よって
$$ a=\log\frac{e+1}{2}
$$
を得る。
また，
$$ 1<\frac{e+1}{2}<e
$$
であるから，
$$ 0<\log\frac{e+1}{2}<1
$$
となり，これは条件 $0<a<1$ を満たす。
$e^a$ は単調増加であるから，$a<\log \dfrac{e+1}{2}$ では $2e^a-(e+1)<0$，$a>\log \dfrac{e+1}{2}$ では $2e^a-(e+1)>0$ である。したがって $F(a)$ は
$$ 0<a<\log\frac{e+1}{2}
$$
で減少し，
$$ \log\frac{e+1}{2}<a<1
$$
で増加する。
よって，$F(a)$ を最小にする $a$ は
$$ a=\log\frac{e+1}{2}
$$
である。
解説
この問題の要点は，絶対値の中身の符号変化を正確に処理することである。
そのまま $x$ で考えると符号変化点は $\log x=a$，すなわち $x=e^a$ となるが，$t=\log x$ と置換すると区間が $0\leqq t\leqq 1$ になり，符号変化点が $t=a$ と単純になる。
注意すべき点は，置換後に $dx=e^t,dt$ が付くことである。ここを落とすと積分値が変わる。また，$0<a<1$ だからこそ，分割点 $t=a$ が積分区間 $[0,1]$ の内部にある。
答え
**(1)**
$$ F(a)=e+2-(e+1)a^2+4(a-1)e^a
$$
**(2)**
$$ a=\log\frac{e+1}{2}
$$