基礎問題集
数学A 場合の数「場合の数」の問題3 解説
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解説
方針・初手
赤玉どうしが隣り合わないようにするには、先に白玉を並べて、その間に赤玉を入れる位置を考えるのが自然である。
白玉を7個並べると、赤玉を入れられる場所は、白玉の間6か所と両端2か所の合計8か所できる。
解法1
まず白玉7個を1列に並べる。
$$ \circ \ \circ \ \circ \ \circ \ \circ \ \circ \ \circ
$$
このとき、赤玉を入れられる場所は次の8か所である。
$$ _ \circ _ \circ _ \circ _ \circ _ \circ _ \circ _ \circ _
$$
赤玉が隣り合わないためには、1つのすき間に赤玉を2個以上入れてはいけない。したがって、8か所のすき間から赤玉を入れる3か所を選べばよい。
よって、求める並べ方の数は
$$ \begin{aligned} {}_8C_3 &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \\ 56 \end{aligned} $$
である。
解説
この問題では、白玉どうし、赤玉どうしは区別しないものとして、色の並びを数える。
赤玉を直接並べようとすると「隣り合わない」という条件の処理が面倒になる。そこで、白玉を先に並べて赤玉を入れるすき間を考えると、赤玉どうしが隣り合わない条件は「同じすき間を選ばない」という条件に置き換わる。
白玉7個のまわりにできるすき間は、両端を含めて $7+1=8$ か所である。そこから3か所を選ぶだけなので、組合せで処理できる。
答え
$$ 56
$$