解説

方針・初手

4桁の整数なので、千の位は $0$ にできない。また、同じ数字は使えない。

偶数は一の位で判定し、$4$ の倍数は下2桁で判定する。したがって、まず下の位から固定して数えるのが自然である。

解法1

まず、偶数の個数を数える。

一の位が偶数であればよいので、一の位は $0,2,4,6$ のいずれかである。

（i） 一の位が $0$ のとき

千の位は $1,2,3,4,5,6$ の $6$ 通りである。

残りの百の位、十の位は、残った $5$ 個の数字から順に選ぶので、

$$ {}*{5}P*{2}=5\cdot 4=20

$$

通りである。

したがって、この場合は

$$ 6\cdot 20=120

$$

通りである。

（ii） 一の位が $2,4,6$ のいずれかのとき

一の位の選び方は $3$ 通りである。

千の位は $0$ にはできず、さらに一の位で使った数字も使えない。もともと $1,2,3,4,5,6$ の $6$ 個のうち、一の位で使った1個を除くので、千の位は $5$ 通りである。

残りの百の位、十の位は、残った $5$ 個の数字から順に選ぶので、

$$ {}*{5}P*{2}=20

$$

通りである。

したがって、この場合は

$$ 3\cdot 5\cdot 20=300

$$

通りである。

よって、偶数の個数は

$$ 120+300=420

$$

である。

次に、$4$ の倍数の個数を数える。

整数が $4$ の倍数であるためには、下2桁が $4$ の倍数であればよい。使える数字は $0,1,2,3,4,5,6$ で、同じ数字は使えない。

下2桁として可能なものを列挙すると、

$$ 04,\ 12,\ 16,\ 20,\ 24,\ 32,\ 36,\ 40,\ 52,\ 56,\ 60,\ 64

$$

の $12$ 通りである。

このうち、$0$ を含むものは

$$ 04,\ 20,\ 40,\ 60

$$

の $4$ 通りである。

この場合、下2桁で $0$ をすでに使っているので、残りの $5$ 個の数字はすべて千の位に置ける。千の位は $5$ 通り、百の位は残り $4$ 通りであるから、

$$ 4\cdot 5\cdot 4=80

$$

通りである。

一方、$0$ を含まない下2桁は

$$ 12,\ 16,\ 24,\ 32,\ 36,\ 52,\ 56,\ 64

$$

の $8$ 通りである。

この場合、残りの $5$ 個の数字の中に $0$ が含まれる。千の位に $0$ は置けないので、千の位は $4$ 通りである。その後、百の位は残り $4$ 通りである。

したがって、

$$ 8\cdot 4\cdot 4=128

$$

通りである。

よって、$4$ の倍数の個数は

$$ 80+128=208

$$

である。

解説

偶数は一の位だけで決まるが、$4$ の倍数は下2桁で決まる。この違いを意識して数えることが重要である。

特に、$0$ を使う位置に注意が必要である。$0$ は一の位や十の位には使えるが、千の位には使えない。そのため、場合分けでは「すでに $0$ を使っているかどうか」を分けると数えやすい。

答え

$$ \boxed{[ア]=420,\quad [イ]=208}

$$