基礎問題集
数学A 場合の数「場合の数」の問題13 解説
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解説
方針・初手
「$1$ が使われている」は、少なくとも1か所に $1$ が現れるという意味である。
桁の条件では、千の位だけ $0$ を使えない点に注意する。そこで、まず全体の個数から「指定された数字が使われていないもの」を引く。複数の数字を含む条件では包除原理を用いる。
解法1
$1000$ から $9999$ までの $4$ 桁の自然数は
$$ 9999-1000+1=9000
$$
個ある。
**(1)**
$1$ が使われていないものを数える。
千の位は $0,1$ 以外なので $8$ 通りである。残りの $3$ 桁は $1$ 以外ならよいので、それぞれ $9$ 通りである。
したがって、$1$ が使われていないものは
$$ 8\cdot 9^3=5832
$$
個である。
よって、$1$ が使われているものは
$$ 9000-5832=3168
$$
個である。
**(2)**
$1,2$ の両方が使われているものを数える。
$1$ が使われていないものは
$$ 8\cdot 9^3
$$
個であり、$2$ が使われていないものも同様に
$$ 8\cdot 9^3
$$
個である。
ただし、$1,2$ の両方が使われていないものを二重に引いているので足し戻す。千の位は $0,1,2$ 以外なので $7$ 通り、残りの $3$ 桁は $1,2$ 以外なのでそれぞれ $8$ 通りである。
したがって、$1,2$ の両方が使われていないものは
$$ 7\cdot 8^3=3584
$$
個である。
包除原理より、$1,2$ の両方が使われているものは
$$ 9000-2\cdot 8\cdot 9^3+7\cdot 8^3
$$
である。計算すると
$$ 9000-2\cdot 5832+3584=920
$$
となる。
**(3)**
$1,2,3$ のすべてが使われているものを数える。
$1,2,3$ のうち、ある $1$ つの数字が使われていないものは、それぞれ
$$ 8\cdot 9^3
$$
個である。
$1,2,3$ のうち、ある $2$ つの数字が使われていないものは、それぞれ
$$ 7\cdot 8^3
$$
個である。
$1,2,3$ のすべてが使われていないものは、千の位が $4,5,6,7,8,9$ の $6$ 通り、残りの $3$ 桁が $0,4,5,6,7,8,9$ の $7$ 通りずつなので
$$ 6\cdot 7^3
$$
個である。
包除原理より、$1,2,3$ のすべてが使われているものは
$$ 9000-3\cdot 8\cdot 9^3+3\cdot 7\cdot 8^3-6\cdot 7^3
$$
である。計算すると
$$ 9000-3\cdot 5832+3\cdot 3584-2058=198
$$
となる。
解法2
（3） については、直接数えて確認できる。
$4$ 桁の中に $1,2,3$ がすべて含まれるので、残りの $1$ 桁を場合分けする。
（i） 残りの $1$ 桁が $1,2,3$ のいずれかである場合
重複する数字の選び方は $3$ 通りである。例えば $1,1,2,3$ の並べ方は
$$ \frac{4!}{2!}=12
$$
通りである。
したがって、この場合は
$$ 3\cdot 12=36
$$
通りである。
（ii） 残りの $1$ 桁が $0$ である場合
数字は $0,1,2,3$ である。すべて並べると $4!$ 通りだが、千の位が $0$ になるものは $3!$ 通りあり、これは $4$ 桁の自然数ではない。
したがって、この場合は
$$ 4!-3!=24-6=18
$$
通りである。
（iii） 残りの $1$ 桁が $4,5,6,7,8,9$ のいずれかである場合
残りの数字の選び方は $6$ 通りである。各場合で $4$ 個の数字はすべて異なり、$0$ を含まないので、並べ方は $4!$ 通りである。
したがって、この場合は
$$ 6\cdot 4!=6\cdot 24=144
$$
通りである。
以上より、
$$ 36+18+144=198
$$
となり、解法1の結果と一致する。
解説
この問題では、「使われている」を「少なくとも1回現れる」と読むことが重要である。
（1） は余事象で数えるのが最も早い。 （2）、（3） は複数の数字を同時に含む条件なので、単純に引くだけでは重複が生じる。そのため包除原理を使う。
また、$4$ 桁の自然数では千の位に $0$ を置けない。各桁を自由に数えるときでも、千の位だけは別に扱う必要がある。
答え
**(1)**
$$ 3168
$$
**(2)**
$$ 920
$$
**(3)**
$$ 198
$$