基礎問題集
数学A 場合の数「場合の数」の問題16 解説
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解説
方針・初手
同じ数字を含む順列なので、まず重複を考慮して並べ方を数える。ただし、$0$ が先頭に来ると $6$ 桁の整数にならないため、その場合を除く。
解法1
$0,1,1,2,2,2$ の $6$ 個をすべて並べる方法を数える。
$1$ が $2$ 個、$2$ が $3$ 個あるので、重複を考慮すると、並べ方の総数は
$$ \frac{6!}{2!3!}=60
$$
である。
このうち、先頭が $0$ であるものは $6$ 桁の整数ではない。先頭を $0$ に固定すると、残りは
$$ 1,1,2,2,2
$$
を $5$ か所に並べればよい。
したがって、その数は
$$ \frac{5!}{2!3!}=10
$$
である。
よって、求める $6$ 桁の整数の個数は
$$ 60-10=50
$$
である。
解法2
先頭に来る数字で場合分けして数える。$6$ 桁の整数にするには、先頭は $1$ または $2$ でなければならない。
（i） 先頭が $1$ のとき
残りの数字は
$$ 0,1,2,2,2
$$
である。
$2$ が $3$ 個あるので、並べ方は
$$ \frac{5!}{3!}=20
$$
通りである。
（ii） 先頭が $2$ のとき
残りの数字は
$$ 0,1,1,2,2
$$
である。
$1$ が $2$ 個、$2$ が $2$ 個あるので、並べ方は
$$ \frac{5!}{2!2!}=30
$$
通りである。
したがって、求める個数は
$$ 20+30=50
$$
である。
解説
この問題では、「同じ数字を含む並べ方」と「先頭に $0$ を置けない」という2点を同時に処理する必要がある。
全体から先頭が $0$ の場合を引く解法1が最も標準的である。特に、$0$ を含む数字の並べ替えで整数を作る問題では、まず全体を数えてから不適切なものを除く方針が有効である。
解法2のように、先頭の数字を $1$ または $2$ に分けてもよい。この方法では、最初から $6$ 桁になる場合だけを数えるため、引き算を使わずに処理できる。
答え
$$ 50
$$
したがって、$[,50,]$ 通りである。