基礎問題集
数学A 場合の数「場合の数」の問題27 解説
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解説
方針・初手
最短経路では遠回りできないので、右方向と上方向にだけ進む。したがって、必要な右移動と上移動の並べ方を数えればよい。
図より、1区画を1として
$$ A=(0,0),\quad P=(1,2),\quad Q=(3,3),\quad B=(4,5)
$$
とおく。
解法1
まず、$A$ から $B$ までは右へ $4$ 回、上へ $5$ 回進む必要がある。合計 $9$ 回の移動のうち、右へ進む $4$ 回の位置を選べばよいので、すべての最短経路の数は
$$ {}_{9}\mathrm{C}_{4}=126
$$
である。
次に、点 $P$ を通る道順を数える。
$A$ から $P$ までは右へ $1$ 回、上へ $2$ 回なので
$$ {}_{3}\mathrm{C}_{1}=3
$$
通りである。
また、$P$ から $B$ までは右へ $3$ 回、上へ $3$ 回なので
$$ {}_{6}\mathrm{C}_{3}=20
$$
通りである。
よって、点 $P$ を通る道順は
$$ 3\cdot 20=60
$$
通りである。
次に、点 $P$ と点 $Q$ の両方を通る道順を数える。最短経路で両方を通る場合は、必ず
$$ A\to P\to Q\to B
$$
の順に通る。
すでに $A$ から $P$ までは $3$ 通りである。
$P$ から $Q$ までは右へ $2$ 回、上へ $1$ 回なので
$$ {}_{3}\mathrm{C}_{1}=3
$$
通りである。
$Q$ から $B$ までは右へ $1$ 回、上へ $2$ 回なので
$$ {}_{3}\mathrm{C}_{1}=3
$$
通りである。
したがって、点 $P$ と点 $Q$ の両方を通る道順は
$$ 3\cdot 3\cdot 3=27
$$
通りである。
点 $P$ を通って点 $Q$ を通らない道順は、点 $P$ を通る道順から、点 $P$ と点 $Q$ の両方を通る道順を引けばよい。よって
$$ 60-27=33
$$
通りである。
最後に、点 $P$ も点 $Q$ も通らない道順を数える。
点 $Q$ を通る道順を数える。$A$ から $Q$ までは右へ $3$ 回、上へ $3$ 回なので
$$ {}_{6}\mathrm{C}_{3}=20
$$
通りである。
$Q$ から $B$ までは右へ $1$ 回、上へ $2$ 回なので
$$ {}_{3}\mathrm{C}_{1}=3
$$
通りである。
したがって、点 $Q$ を通る道順は
$$ 20\cdot 3=60
$$
通りである。
ここで、点 $P$ を通る道順と点 $Q$ を通る道順を単純に引くと、両方を通る道順を二重に引いてしまう。そのため、包除原理より
$$ 126-60-60+27=33
$$
である。
よって、点 $P$ も点 $Q$ も通らない道順は $33$ 通りである。
解説
この問題は、最短経路を「右」と「上」の並べ方として数えるのが基本である。
特定の点を通る場合は、その点で経路を分割して、それぞれの区間の最短経路数を掛ける。複数の条件を含む場合は、重複して数えたり引いたりしないように包除原理を使う。
特に「$P$ も $Q$ も通らない」は、直接数えるよりも、全体から $P$ を通るものと $Q$ を通るものを除く方が自然である。ただし、両方を通る道順は二重に除かれるため、最後に足し戻す必要がある。
答え
$$ \boxed{[カ]=126}
$$
$$ \boxed{[キ]=60}
$$
$$ \boxed{[ク]=27}
$$
$$ \boxed{[ケ]=33}
$$
$$ \boxed{[コ]=33}
$$