解説

方針・初手

使える数字は $0,1,2,3$ の $4$ 種類である。先頭は $0$ 以外なので、まず「先頭が $0$ でない $n$ 桁の整数」を数え、そこから「$0$ を一度も使わないもの」を除けばよい。

$n=5$ の中央値は、全体の個数が奇数なので、並べたときの

$$ \frac{\text{個数}+1}{2}

$$

番目を求めればよい。

解法1

$n$ 桁の整数を作るとき、先頭の数字は $1,2,3$ の $3$ 通りである。残りの $n-1$ 桁は $0,1,2,3$ の $4$ 通りずつ選べるので、先頭が $0$ でない $n$ 桁の整数は

$$ 3\cdot 4^{n-1}

$$

個ある。

このうち、$0$ を一度も使わないものは、すべての桁が $1,2,3$ のいずれかであるから

$$ 3^n

$$

個ある。

したがって、$0$ を少なくとも $1$ 回使うものの個数は

$$ 3\cdot 4^{n-1}-3^n

$$

である。

次に $n=5$ の場合を考える。このとき個数は

$$ 3\cdot 4^4-3^5=3\cdot 256-243=768-243=525

$$

である。よって、ちょうど真中にくる整数は

$$ \frac{525+1}{2}=263

$$

番目の整数である。

すべて $5$ 桁であるから、小さい順に並べることは、左の桁から辞書順に並べることと同じである。

まず、万の位が $1$ のものの個数を数える。万の位が $1$ のとき、残り $4$ 桁のうち少なくとも $1$ 回 $0$ を使えばよいから

$$ 4^4-3^4=256-81=175

$$

個ある。

同様に、万の位が $2$ のものも $175$ 個である。したがって、$263$ 番目は万の位が $2$ の整数であり、その中で

$$ 263-175=88

$$

番目である。

次に、千の位を決める。万の位が $2$ で、千の位が $0$ のものは、残り $3$ 桁を自由に選べるので

$$ 4^3=64

$$

個ある。よって、$88$ 番目は千の位が $1$ の整数であり、その中で

$$ 88-64=24

$$

番目である。

ここまでで先頭が $21$ と決まった。まだ $0$ を使っていないので、残り $3$ 桁のどこかに $0$ が必要である。

百の位が $0$ のものは、残り $2$ 桁を自由に選べるので

$$ 4^2=16

$$

個ある。

したがって、$24$ 番目は百の位が $0$ ではなく、さらに

$$ 24-16=8

$$

番目を考えればよい。

百の位が $1$ のとき、残り $2$ 桁のどこかに $0$ を含む必要がある。その個数は

$$ 4^2-3^2=16-9=7

$$

個である。

よって、$8$ 番目は百の位が $2$ の整数であり、その中で

$$ 8-7=1

$$

番目である。

ここまでで先頭が $212$ と決まった。まだ $0$ を使っていないので、残り $2$ 桁のどこかに $0$ が必要である。残り $2$ 桁を小さい順に並べると、最初に来るのは

$$ 00

$$

である。

したがって、求める整数は

$$ 21200

$$

である。

解説

この問題は、条件「$0$ を少なくとも $1$ 回使う」を直接数えるよりも、全体から「$0$ を使わないもの」を引く方が簡単である。

中央値を求める部分では、実際にすべてを書き出す必要はない。左の桁から順に、その桁を固定したときに何個あるかを数えていけば、目的の順位にある整数を特定できる。

特に、$5$ 桁の整数はすべて桁数が同じなので、小さい順は左から見た辞書順と一致する。この点を利用すると、各桁を順に決定できる。

答え

**(1)**

$$ 3\cdot 4^{n-1}-3^n

$$

**(2)**

$$ 21200

$$