解説

方針・初手

異なる $3$ 個の数字で $3$ 桁の整数を作るので、基本は順列で数える。

第 $67$ 番目の整数を求める部分では、百の位ごとに何個ずつ並ぶかを考え、目的の番号がどの百の位に入るかを絞る。

解法1

まず、$1,2,3,4,5,6,7$ から異なる $3$ 個を選んで並べるので、できる $3$ 桁の整数の総数は

$$ {}_7P_3=7\cdot 6\cdot 5=210

$$

である。したがって

$$ \boxed{\text{ア}=210}

$$

である。

次に偶数を数える。偶数になるためには、一の位が $2,4,6$ のいずれかであればよい。

一の位の選び方は $3$ 通りである。その後、百の位は残り $6$ 個から選び、十の位はさらに残り $5$ 個から選ぶので、

$$ 3\cdot 6\cdot 5=90

$$

である。よって

$$ \boxed{\text{イ}=90}

$$

である。

次に、$345$ 以上の整数を数える。

百の位で場合分けする。

（i） 百の位が $4,5,6,7$ のとき

このときは必ず $345$ 以上である。百の位の選び方は $4$ 通り、十の位と一の位は残り $6$ 個から異なる $2$ 個を順に選ぶので、

$$ 4\cdot 6\cdot 5=120

$$

個である。

（ii） 百の位が $3$ のとき

$3ab$ が $345$ 以上になる条件を考える。

十の位が $5,6,7$ のときは、どの一の位を選んでも $345$ 以上である。この場合は

$$ 3\cdot 5=15

$$

個である。

十の位が $4$ のときは、$34b\geqq 345$ である必要があるので、一の位は $5,6,7$ の $3$ 通りである。

したがって、百の位が $3$ の場合は

$$ 15+3=18

$$

個である。

よって、$345$ 以上の整数は

$$ 120+18=138

$$

個である。したがって

$$ \boxed{\text{ウ}=138}

$$

である。

最後に、これらの整数を小さい順に並べたときの第 $67$ 番目を求める。

百の位が $1$ の整数は、残り $6$ 個から十の位と一の位を順に選ぶので

$$ 6\cdot 5=30

$$

個である。

同様に、百の位が $2$ の整数も $30$ 個である。

したがって、百の位が $1$ の整数が第 $1$ 番目から第 $30$ 番目、百の位が $2$ の整数が第 $31$ 番目から第 $60$ 番目に並ぶ。

よって、第 $67$ 番目は、百の位が $3$ の整数の中で

$$ 67-60=7

$$

番目である。

百の位を $3$ に固定すると、十の位に使える数字は

$$ 1,2,4,5,6,7

$$

である。

小さい順に並べると、まず十の位が $1$ のものが並ぶ。このとき一の位は

$$ 2,4,5,6,7

$$

の $5$ 通りなので、最初の $5$ 個は

$$ 312,\ 314,\ 315,\ 316,\ 317

$$

である。

次に十の位が $2$ のものが並ぶ。一の位は小さい順に

$$ 1,4,5,6,7

$$

であるから、

$$ 321,\ 324,\ 325,\ 326,\ 327

$$

と続く。

したがって、百の位が $3$ の整数の中で第 $7$ 番目は $324$ である。よって

$$ \boxed{\text{エ}=324}

$$

である。

解説

総数や偶数の個数は、同じ数字を使えないことに注意して順列で数えればよい。

$345$ 以上の個数では、百の位が $4$ 以上ならすべて条件を満たす。一方で百の位が $3$ の場合は、十の位と一の位の大小まで見る必要がある。このように、基準となる数 $345$ と左の桁から比較するのが典型である。

第 $67$ 番目を求める問題では、実際に全部を書き出すのではなく、百の位ごとに $30$ 個ずつあることを利用して位置を絞るのが効率的である。

答え

$$ \boxed{\text{ア}=210,\quad \text{イ}=90,\quad \text{ウ}=138,\quad \text{エ}=324}

$$