解説

方針・初手

二等辺三角形は、まず「頂角の頂点」を固定して数えるのが自然である。

正 $n$ 角形のある頂点を頂角の頂点とすると、その左右に同じだけ離れた頂点を選べば二等辺三角形ができる。ただし、正三角形はどの頂点を頂角と見ても数えられるため、重複して数えた分を調整する必要がある。

解法1

正 $n$ 角形の頂点を円周上に並んでいるものと考える。

ある1つの頂点を固定し、そこを頂角の頂点とする。この頂点から時計回りに $r$ 個、反時計回りに $r$ 個進んだ2頂点を選ぶと、固定した頂点から2頂点までの距離が等しくなるので、二等辺三角形ができる。

このとき $r$ として選べる値は

$$ r=1,2,\dots,\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor

$$

である。したがって、頂角の頂点を指定して数えると

$$ n\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor

$$

個である。

ただし、この数え方では正三角形を重複して数えている。正三角形は3つの頂点のどれを頂角の頂点としても二等辺三角形と見なせるので、1つの正三角形を3回数えている。したがって、正三角形1個につき余分に $2$ 回数えている。

正 $n$ 角形の頂点から正三角形を作れるのは、$3 \mid n$ のときである。このとき、頂点を $n/3$ 個ずつ離して選べばよく、正三角形の個数は

$$ \frac{n}{3}

$$

である。

よって、一般に

$$ a_n \;=\; n\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor \;-\; \begin{cases} \dfrac{2n}{3} & (3\mid n),\\ 0 & (3\nmid n) \end{cases}

$$

である。

（i） まず $n=6$ のとき、

$$ \begin{aligned} a_6 &= 6\left\lfloor \frac{5}{2} \right\rfloor \\ \frac{2\cdot 6}{3} \\ 6\cdot 2-4 \\ 8 \end{aligned} $$

である。

次に $n=7$ のとき、$3\nmid 7$ であるから、

$$ \begin{aligned} a_7 &= 7\left\lfloor \frac{6}{2} \right\rfloor \\ 7\cdot 3 \\ 21 \end{aligned} $$

である。

**(ii)**

$n=6k$ のとき、

$$ \begin{aligned} \left\lfloor \frac{6k-1}{2} \right\rfloor &= 3k-1 \end{aligned} $$

であり、また $3\mid 6k$ である。したがって、

$$ \begin{aligned} a_{6k} &= 6k(3k-1)-\frac{2\cdot 6k}{3} \\ 18k^2-6k-4k \\ 18k^2-10k \end{aligned} $$

である。

次に $n=6k+1$ のとき、

$$ \begin{aligned} \left\lfloor \frac{6k}{2} \right\rfloor &= 3k \end{aligned} $$

であり、また $3\nmid (6k+1)$ である。したがって、

$$ \begin{aligned} a_{6k+1} &= (6k+1)\cdot 3k \\ 18k^2+3k \end{aligned} $$

である。

解説

頂点を3つ選んで直接分類しようとすると、底辺の位置や頂角の位置が混ざって数えにくい。そこで、二等辺三角形を「頂角の頂点から左右等距離の2頂点を選ぶ」と見るのが要点である。

ただし、正三角形は二等辺三角形でもあるため、頂角を固定する数え方では1つの正三角形が3回数えられる。この重複補正を忘れると、$a_6$ などで答えがずれる。

答え

**(i)**

$$ a_6=8,\qquad a_7=21

$$

**(ii)**

$$ a_{6k}=18k^2-10k,\qquad a_{6k+1}=18k^2+3k

$$