基礎問題集
数学A 場合の数「場合の数」の問題53 解説
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解説
方針・初手
文字列 KANNSAI は、$A$ が $2$ 個、$N$ が $2$ 個あり、$K,S,I$ はそれぞれ $1$ 個ずつある。
同じ文字を含む順列なので、基本は
$$ \frac{7!}{2!2!}
$$
を出発点にする。条件付きの問題では、同じ文字の重複を考慮しながら、位置の選び方や相対的な順序で数える。
解法1
**(1)**
$7$ 文字のうち、$A$ が $2$ 個、$N$ が $2$ 個重複しているので、すべての文字を使った並べ方は
$$ \frac{7!}{2!2!}=1260
$$
である。
したがって、①は
$$ 1260
$$
である。
**(2)**
$K,S,I$ の相対的な順序だけに注目する。
$K,S,I$ の並び順は全部で
$$ 3!=6
$$
通りあり、そのうち $K,S,I$ がこの順にあるものは $1$ 通りである。
重複している $A,N$ の扱いはどの相対順序でも同じなので、(1) の総数を $6$ 等分すればよい。
よって
$$ \frac{1260}{6}=210
$$
である。
したがって、②は
$$ 210
$$
である。
**(3)**
「どの $A$ もどの $N$ より前にある」とは、$2$ 個の $A$ がともに $2$ 個の $N$ より前にあるということである。
まず、$A,A,N,N$ が入る $4$ 個の位置を $7$ 個の位置から選ぶ。条件を満たすには、その選んだ $4$ 個の位置のうち前の $2$ 個に $A,A$、後ろの $2$ 個に $N,N$ を置くしかない。
その選び方は
$$ {}_{7}\mathrm{C}_{4}
$$
通りである。
残り $3$ 個の位置に $K,S,I$ を並べる方法は
$$ 3!
$$
通りである。
したがって求める数は
$$ {}_{7}\mathrm{C}_{4} \cdot 3! = 35 \cdot 6 = 210
$$
である。
よって、③は
$$ 210
$$
である。
**(4)**
偶数番目の位置は $2,4,6$ の $3$ 箇所である。
$K,S,I$ が偶数番目に並ぶには、この $3$ 箇所に $K,S,I$ を入れればよい。その並べ方は
$$ 3!
$$
通りである。
残りの奇数番目の位置 $1,3,5,7$ には $A,A,N,N$ を入れる。これは同じ文字を含むので
$$ \frac{4!}{2!2!}=6
$$
通りである。
したがって求める数は
$$ 3! \cdot \frac{4!}{2!2!}=6 \cdot 6=36
$$
である。
よって、④は
$$ 36
$$
である。
**(5)**
$7$ 文字から $5$ 文字を取ることは、逆に $2$ 文字を取り除くこととして数える。
取り除く $2$ 文字の種類ごとに、残った $5$ 文字の並べ方を数える。
**(i)**
$K,S,I$ のうち異なる $2$ 文字を取り除く場合
残る文字は $A,A,N,N$ と、$K,S,I$ のうち $1$ 文字である。
並べ方は
$$ \frac{5!}{2!2!}=30
$$
通りであり、取り除く文字の選び方は
$$ {}_{3}\mathrm{C}_{2}=3
$$
通りである。
したがって
$$ 3 \cdot 30 = 90
$$
通りである。
**(ii)**
$A$ を $1$ 個と、$K,S,I$ のうち $1$ 文字を取り除く場合
残る文字は $A,N,N$ と、$K,S,I$ のうち $2$ 文字である。
並べ方は
$$ \frac{5!}{2!}=60
$$
通りであり、取り除く $K,S,I$ の選び方は $3$ 通りである。
したがって
$$ 3 \cdot 60 = 180
$$
通りである。
**(iii)**
$N$ を $1$ 個と、$K,S,I$ のうち $1$ 文字を取り除く場合
(ii) と同様に
$$ 3 \cdot \frac{5!}{2!}=180
$$
通りである。
**(iv)**
$A$ と $N$ を $1$ 個ずつ取り除く場合
残る文字は $A,N,K,S,I$ であり、すべて異なるので
$$ 5! = 120
$$
通りである。
**(v)**
$A$ を $2$ 個取り除く場合
残る文字は $N,N,K,S,I$ であるから
$$ \frac{5!}{2!}=60
$$
通りである。
**(vi)**
$N$ を $2$ 個取り除く場合
残る文字は $A,A,K,S,I$ であるから
$$ \frac{5!}{2!}=60
$$
通りである。
以上を合計して
$$ 90+180+180+120+60+60=690
$$
である。
したがって、⑤は
$$ 690
$$
である。
解説
この問題では、$A$ と $N$ がそれぞれ $2$ 個ずつあるため、単純に階乗で数えると重複分を数えすぎる。
(1) は同じ文字を含む順列の基本問題である。(2) は $K,S,I$ の相対的な順序に注目すると、全体を $3!$ 等分できる。(3) は $A,A,N,N$ の入る位置を選ぶと、条件により $A,A,N,N$ の配置が一意に決まる点が重要である。
(5) は、選んだ $5$ 文字の種類によって重複の様子が変わるため、場合分けが必要である。直接「$5$ 文字を選ぶ」と考えるより、「$2$ 文字を取り除く」と考える方が整理しやすい。
答え
$$ \boxed{①=1260}
$$
$$ \boxed{②=210}
$$
$$ \boxed{③=210}
$$
$$ \boxed{④=36}
$$
$$ \boxed{⑤=690}
$$