解説

方針・初手

7色をすべて1回ずつ使うので、同じ色の面は存在しない。したがって、色を塗った正五角柱が非自明な回転で自分自身に重なることはない。

正五角柱の回転による重なり方は、上下の底面を保ったまま回す $5$ 通りと、上下の底面を入れ替えるように倒す $5$ 通りの合計 $10$ 通りである。

よって、条件を満たす「面を区別した塗り方」を数え、それを $10$ で割ればよい。

解法1

正五角柱の $7$ つの面をいったんすべて区別して考える。

（1） 1つの底面に赤色、1つの側面に黄色を塗る場合

赤色を塗る底面の選び方は $2$ 通りである。

黄色を塗る側面の選び方は $5$ 通りである。

残りの $5$ 面に、残りの $5$ 色を1色ずつ塗るので、その塗り方は $5!$ 通りである。

したがって、面を区別した塗り方は

$$ 2 \cdot 5 \cdot 5! = 1200

$$

通りである。

同じ塗り方は正五角柱の回転・倒し方によって $10$ 通りずつ数えられているので、求める数は

$$ \frac{1200}{10}=120

$$

である。

（2） 2つの底面にそれぞれ赤色と黄色を塗る場合

赤色と黄色を2つの底面に塗る方法は

$$ 2!

$$

通りである。

残りの $5$ つの側面に、残りの $5$ 色を1色ずつ塗るので、その塗り方は $5!$ 通りである。

したがって、面を区別した塗り方は

$$ 2! \cdot 5! = 240

$$

通りである。

これも回転・倒し方により $10$ 通りずつ同じ塗り方として数えられているので、求める数は

$$ \frac{240}{10}=24

$$

である。

（3） 条件なしで7色をすべて使って塗る場合

$7$ つの面に $7$ 色を1色ずつ塗るので、面を区別した塗り方は

$$ 7!

$$

通りである。

これを正五角柱の $10$ 通りの向きの違いで割ればよいから、

$$ \begin{aligned} \frac{7!}{10} &= \frac{5040}{10} \\ 504 \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の要点は、正五角柱の回転対称性を正しく数えることである。

正五角柱は、上下の底面を保ったまま回す操作が $5$ 通りある。また、柱を倒して上下の底面を入れ替える操作も $5$ 通りある。したがって、同じ塗り方として扱われる向きは合計 $10$ 通りである。

さらに、今回は7色をすべて1回ずつ使うため、非自明な回転によって完全に同じ色配置に戻ることはない。したがって、単純に「面を区別した塗り方」を $10$ で割ることができる。

答え

**(1)**

$$ 120

$$

通り。

**(2)**

$$ 24

$$

通り。

**(3)**

$$ 504

$$

通り。