基礎問題集
数学A 場合の数「場合の数(重複組合せ)」の問題3 解説
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解説
方針・初手
正の整数解の個数は、まず $x+y+z=10$ を満たす組全体を「仕切り」の考え方で数える。
その後、条件 $x=2y$ は直接代入して数え、条件 $x<y$ は $x$ と $y$ の対称性を使って数えると簡潔である。
解法1
まず、$x,y,z$ はすべて正の整数であるから、
$$ x+y+z=10
$$
を満たす組の総数は、$10$ 個のものを $3$ つの正の部分に分ける場合の数である。
したがって、
$$ {}*{9}C*{2}=36
$$
より、全体の組は $36$ 個である。
次に、$x=2y$ を満たす組を数える。
$x=2y$ を $x+y+z=10$ に代入すると、
$$ 2y+y+z=10
$$
すなわち、
$$ 3y+z=10
$$
である。
ここで $y,z$ は正の整数だから、$y$ に入る値を調べると、
$$ \begin{aligned} y=1 &\Rightarrow z=7,\\ y=2 &\Rightarrow z=4,\\ y=3 &\Rightarrow z=1 \end{aligned}
$$
となる。$y=4$ 以上では $z$ が正でなくなるので不可である。
よって、$x=2y$ を満たす組は $3$ 個である。
最後に、$x<y$ を満たす組を数える。
全体 $36$ 個のうち、$x=y$ となる組を除けば、残りは $x<y$ と $x>y$ に対称に分かれる。
$x=y$ のとき、
$$ x+y+z=10
$$
より、
$$ 2x+z=10
$$
である。$x,z$ は正の整数なので、
$$ x=1,2,3,4
$$
が可能であり、それぞれ $z=8,6,4,2$ となる。
したがって、$x=y$ となる組は $4$ 個である。
よって、$x<y$ または $x>y$ となる組は、
$$ 36-4=32
$$
個である。これらは $x$ と $y$ を入れ替えることで一対一に対応するので、$x<y$ を満たす組の個数は、
$$ \frac{32}{2}=16
$$
である。
解説
この問題では、正の整数解であることに注意する必要がある。非負整数解として数えると、全体の個数が変わってしまう。
$x<y$ の条件は直接数えてもよいが、$x$ と $y$ の対称性を使うと処理が短い。ただし、その場合は $x=y$ の場合を必ず除く必要がある。
答え
$$ [キ]=36,\qquad [ク]=3,\qquad [ケ]=16
$$