解説

方針・初手

選ぶ $3$ 個の整数を小さい順に $a<b<c$ とおく。どの $2$ つの差の絶対値も $3$ 以上であるためには、隣り合う差について

$$ b-a\geqq 3,\qquad c-b\geqq 3

$$

が成り立てば十分である。したがって、この条件を普通の「異なる $3$ 個を選ぶ」問題に変形して数える。

解法1

小さい順に選んだ $3$ 個の整数を

$$ a<b<c

$$

とする。条件は

$$ b-a\geqq 3,\qquad c-b\geqq 3

$$

である。

ここで、間隔を詰めるために

$$ x=a,\qquad y=b-2,\qquad z=c-4

$$

とおく。

$b-a\geqq 3$ より

$$ a<b-2

$$

であるから $x<y$ である。また、$c-b\geqq 3$ より

$$ b-2<c-4

$$

であるから $y<z$ である。

さらに $1\leqq a$、$c\leqq n$ より

$$ 1\leqq x<y<z\leqq n-4

$$

となる。

逆に、$1\leqq x<y<z\leqq n-4$ を選べば、

$$ a=x,\qquad b=y+2,\qquad c=z+4

$$

と戻すことで

$$ b-a=(y-x)+2\geqq 3,\qquad c-b=(z-y)+2\geqq 3

$$

となる。

したがって、求める選び方は $1,2,\dots,n-4$ から異なる $3$ 個を選ぶ方法の数に等しい。よって

$$ {}_{n-4}\mathrm{C}_{3}

$$

である。

解法2

小さい順に選んだ $3$ 個を $a<b<c$ とする。

条件より、$a$ と $b$ の間には少なくとも $2$ 個、$b$ と $c$ の間にも少なくとも $2$ 個の整数が選ばれずに入る。

そこで、余分なすき間を次のようにおく。

$$ p=a-1,\qquad q=b-a-3,\qquad r=c-b-3,\qquad s=n-c

$$

とする。ここで $p,q,r,s$ はすべて $0$ 以上の整数である。

これらを足すと

$$ \begin{aligned} p+q+r+s &=(a-1)+(b-a-3)+(c-b-3)+(n-c)\\ &=n-7 \end{aligned}

$$

となる。

したがって、求める選び方は

$$ p+q+r+s=n-7

$$

を満たす $0$ 以上の整数解の個数に等しい。

これは、重複組合せにより

$$ \begin{aligned} {}_{(n-7)+4-1}\mathrm{C}_{4-1} &= {}_{n-4}\mathrm{C}_{3} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、条件「どの $2$ つの差も $3$ 以上」を、小さい順に並べたときの隣同士の条件に直すのが重要である。

$3$ 個を $a<b<c$ と並べれば、$c-a$ は $b-a$ や $c-b$ より大きいので、実際に確認すべき条件は

$$ b-a\geqq 3,\qquad c-b\geqq 3

$$

だけでよい。

解法1は、間隔の条件を取り除くために $b$ から $2$、$c$ から $4$ を引く標準的な処理である。解法2は、選んだ数の前後と間のすき間を直接数える方法であり、条件の意味が見えやすい。

答え

$$ \boxed{{}_{n-4}\mathrm{C}_{3}}

$$