解説

注意

画像の第(3)問の最初の不等式について、文字の読取りに不確実性がある。以下では第(3)問を

$$ x\leqq k,\quad y\leqq k+1,\quad z\leqq k+2

$$

として解釈した場合の解答解説である。

方針・初手

正の整数解の個数なので、まず $x,y,z$ から $1$ を引いて非負整数解の個数に直す。

上限条件があるものは、全体から条件に反するものを引く。第(3)問では上限を超える事象同士が同時に起こらないことを確認してから、補集合で数える。

解法1

$x>0,\ y>0,\ z>0$ より、

$$ X=x-1,\quad Y=y-1,\quad Z=z-1

$$

とおくと、$X,Y,Z$ は $0$ 以上の整数であり、

$$ X+Y+Z=(2k-1)-3=2k-4

$$

となる。

よって、非負整数解の個数は

$$ {}*{2k-4+3-1}C*{3-1}={}_{2k-2}C_2

$$

である。したがって、第(1)問の答えは

$$ {}_{2k-2}C_2 =\frac{(2k-2)(2k-3)}{2} =(k-1)(2k-3)

$$

である。

次に第(2)問を考える。第(1)問のうち $z\leqq k$ を満たすものを数える。

全体から $z\geqq k+1$ となるものを引く。$z\geqq k+1$ のとき、

$$ z'=z-(k+1)

$$

とおくと、$z'\geqq 0$ であり、

$$ x+y+z'=2k-1-(k+1)=k-2

$$

となる。さらに $x,y$ は正の整数なので、

$$ X=x-1,\quad Y=y-1

$$

とおくと、

$$ X+Y+z'=(k-2)-2=k-4

$$

である。したがって、$z\geqq k+1$ となる解の個数は

$$ {}*{k-4+3-1}C*{3-1}={}_{k-2}C_2

$$

である。

よって、第(2)問の答えは

$$ {}*{2k-2}C_2-{}*{k-2}C_2

$$

であり、計算すると

$$ \begin{aligned} {}*{2k-2}C_2-{}*{k-2}C_2 &=\frac{(2k-2)(2k-3)}{2}-\frac{(k-2)(k-3)}{2} \\ &=\frac{3k^2-5k}{2} \\ &=\frac{k(3k-5)}{2} \end{aligned}

$$

となる。

次に第(3)問を考える。第(1)問のうち

$$ x\leqq k,\quad y\leqq k+1,\quad z\leqq k+2

$$

をすべて満たすものを数える。

全体から、次のいずれかに反するものを引く。

$$ x\geqq k+1,\quad y\geqq k+2,\quad z\geqq k+3

$$

まず $x\geqq k+1$ の場合を数える。$x'=x-(k+1)$ とおくと、

$$ x'+y+z=2k-1-(k+1)=k-2

$$

である。$y,z$ は正の整数なので、非負整数に直すと

$$ x'+Y+Z=k-4

$$

となる。よって個数は

$$ {}_{k-2}C_2

$$

である。

次に $y\geqq k+2$ の場合を数える。$y'=y-(k+2)$ とおくと、

$$ x+y'+z=2k-1-(k+2)=k-3

$$

である。$x,z$ は正の整数なので、非負整数に直すと

$$ X+y'+Z=k-5

$$

となる。よって個数は

$$ {}_{k-3}C_2

$$

である。

次に $z\geqq k+3$ の場合を数える。$z'=z-(k+3)$ とおくと、

$$ x+y+z'=2k-1-(k+3)=k-4

$$

である。$x,y$ は正の整数なので、非負整数に直すと

$$ X+Y+z'=k-6

$$

となる。よって個数は

$$ {}_{k-4}C_2

$$

である。

ここで、これらの条件が同時に起こる場合は存在しない。例えば

$$ x\geqq k+1,\quad y\geqq k+2

$$

が同時に成り立つと、$z\geqq 1$ より

$$ x+y+z\geqq (k+1)+(k+2)+1=2k+4

$$

となり、$x+y+z=2k-1$ に反する。他の組合せも同様に不可能である。

したがって、第(3)問の個数は

$$ {}*{2k-2}C_2-{}*{k-2}C_2-{}*{k-3}C_2-{}*{k-4}C_2

$$

である。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} &{}*{2k-2}C_2-{}*{k-2}C_2-{}*{k-3}C_2-{}*{k-4}C_2 \\ &=\frac{(2k-2)(2k-3)}{2} -\frac{(k-2)(k-3)}{2} -\frac{(k-3)(k-4)}{2} -\frac{(k-4)(k-5)}{2} \\ &=\frac{k^2+11k-32}{2} \end{aligned}

$$

となる。

解説

この問題は、正の整数解を非負整数解に直してから、重複組合せの考え方で数える問題である。

第(2)問では $z\leqq k$ を直接数えてもよいが、全体から $z\geqq k+1$ を引く方が整理しやすい。

第(3)問では、上限条件が複数あるため補集合を使う。ただし、補集合を引くときは、上限を超える条件が同時に起こるかを確認する必要がある。この問題では $k\geqq 6$ であり、各上限超過の個数は通常通り組合せで表せる。また、上限超過が2つ以上同時に起こると和が $2k-1$ を超えてしまうため、重複して引きすぎる心配はない。

答え

**(1)**

$$ (k-1)(2k-3)

$$

**(2)**

$$ \frac{k(3k-5)}{2}

$$

**(3)**

$$ \frac{k^2+11k-32}{2}

$$