基礎問題集
数学A 場合の数「約数の個数」の問題3 解説
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解説
方針・初手
正の約数の個数は、素因数分解して
$$ N=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}
$$
と表したとき、
$$ (a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)
$$
で求められる。
後半は、$2^l3^m5^n$ の正の約数の個数が $(l+1)(m+1)(n+1)$ になることを使い、$l+m+n=9$ のもとでこの積を最大にする。
解法1
まず、$729$ を素因数分解する。
$$ 729=3^6
$$
したがって、正の約数の個数は
$$ 6+1=7
$$
である。よって、$[ア]=7$ である。
次に、$784$ を素因数分解する。
$$ 784=28^2=(2^2\cdot 7)^2=2^4\cdot 7^2
$$
したがって、正の約数の個数は
$$ (4+1)(2+1)=5\cdot 3=15
$$
である。よって、$[イ]=15$ である。
最後に、$l,m,n$ を正の整数として、$2^l3^m5^n$ の正の約数の個数を考える。
$$ 2^l3^m5^n
$$
の正の約数は、$2,3,5$ の指数をそれぞれ $0$ から $l,m,n$ まで選ぶことで決まる。したがって、正の約数の個数は
$$ (l+1)(m+1)(n+1)
$$
である。
条件は
$$ l+m+n=9
$$
であり、$l,m,n$ は正の整数である。
積 $(l+1)(m+1)(n+1)$ を大きくするには、$l,m,n$ をできるだけ均等にするのがよい。実際、和が一定の正の数では、差が大きい2つを近づけると積は大きくなる。
例えば $a\geq b+2$ のとき、$a+b$ を保ったまま $(a,b)$ を $(a-1,b+1)$ に変えると、
$$ (a-1)(b+1)-ab=a-b-1>0
$$
となり、積が増える。
したがって、$l,m,n$ はできるだけ等しくする。$l+m+n=9$ なので、
$$ l=m=n=3
$$
のときが最大である。
このとき、正の約数の個数は
$$ (3+1)(3+1)(3+1)=4^3=64
$$
である。
よって、$[ウ]=64$ である。
解説
この問題の中心は、素因数分解と約数の個数の公式である。
特に後半では、$l+m+n=9$ という「指数の和」が固定されているため、$(l+1)(m+1)(n+1)$ を最大にする問題になる。和が一定なら、積はできるだけ均等に分けたときに大きくなる。今回は $9$ を正の整数 $3$ つに分けるので、$3,3,3$ が最適である。
答え
$$ [ア]=7,\qquad [イ]=15,\qquad [ウ]=64
$$