解説

方針・初手

各ゲームの勝者を、甲が勝つとき $A$、乙が勝つとき $B$ と書く。

試合が終了するのは、勝者の列に初めて $AA$ または $BB$ が現れたときである。したがって、ゲーム数を指定して試合終了を考えるには、勝者の列を直接列挙するのが最も確実である。

解法1

まず、1回目のゲームでは

$$ P(A)=\frac{2}{3},\qquad P(B)=\frac{1}{3}

$$

である。また、直前に甲が勝った後は

$$ P(A\mid A)=\frac{2}{3},\qquad P(B\mid A)=\frac{1}{3}

$$

直前に乙が勝った後は

$$ P(A\mid B)=\frac{1}{5},\qquad P(B\mid B)=\frac{4}{5}

$$

である。

(1) 3回以内に試合が終了する確率

2回で試合が終了するのは、勝者の列が $AA$ または $BB$ となる場合である。

$$ P(AA)=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{9}

$$

$$ P(BB)=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{15}

$$

よって、2回で終了する確率は

$$ \begin{aligned} \frac{4}{9}+\frac{4}{15} &= \frac{20}{45}+\frac{12}{45} \\ \frac{32}{45} \end{aligned} $$

である。

次に、3回で試合が終了する場合を考える。2回で終了していてはいけないので、最初の2回は $AB$ または $BA$ でなければならない。そのうえで3回目に2回目と同じ人が勝てばよい。

したがって、該当する勝者の列は $ABB$ と $BAA$ である。

$$ \begin{aligned} P(ABB) &= \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{5} \\ \frac{8}{45} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} P(BAA) &= \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{2}{3} \\ \frac{2}{45} \end{aligned} $$

よって、3回で終了する確率は

$$ \begin{aligned} \frac{8}{45}+\frac{2}{45} &= \frac{10}{45} \\ \frac{2}{9} \end{aligned} $$

である。

したがって、3回以内に試合が終了する確率は

$$ \begin{aligned} \frac{32}{45}+\frac{10}{45} &= \frac{42}{45} \\ \frac{14}{15} \end{aligned} $$

である。

(2) 4回のゲームで試合が終了したとき、甲が勝者となる確率

4回で試合が終了するには、最初の3回では連勝が出ず、4回目で初めて連勝が出ればよい。

最初の3回で連勝が出ない勝者の列は $ABA$ または $BAB$ である。4回目で試合が終了するには、4回目の勝者が3回目の勝者と同じでなければならない。

よって、4回で終了する列は

$$ ABAA,\qquad BABB

$$

である。

このうち、甲が勝者となるのは $ABAA$ の場合である。

$$ \begin{aligned} P(ABAA) &= \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{2}{3} \\ \frac{4}{135} \end{aligned} $$

また、乙が勝者となるのは $BABB$ の場合である。

$$ \begin{aligned} P(BABB) &= \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{5} \\ \frac{4}{225} \end{aligned} $$

したがって、4回で試合が終了したという条件のもとで、甲が勝者となる条件付き確率は

$$ \begin{aligned} \frac{P(ABAA)}{P(ABAA)+P(BABB)} &= \frac{\frac{4}{135}}{\frac{4}{135}+\frac{4}{225}} \end{aligned} $$

ここで分母を整理すると

$$ \begin{aligned} \frac{4}{135}+\frac{4}{225} &= \frac{20}{675}+\frac{12}{675} \\ \frac{32}{675} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{\frac{4}{135}}{\frac{32}{675}} &= \frac{4}{135}\cdot\frac{675}{32} \\ \frac{5}{8} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、各ゲームの勝率が直前の勝者によって変わるため、単純な独立試行として扱ってはいけない。

ただし、試合終了条件は「同じ人が2回続けて勝つこと」なので、短いゲーム数については勝者の列を列挙する方法が最も安全である。

特に(2)では、「4回目までに終了した」ではなく「4回のゲームで試合が終了した」とあるため、1回目から3回目までは連勝が出ていないことを条件に入れる必要がある。この点を落とすと、余分な列を数えてしまう。

答え

**(1)**

$$ \frac{14}{15}

$$

**(2)**

$$ \frac{5}{8}

$$