解説

方針・初手

甲が最終的に得た合計を $s$ とおくと、乙の行動後に甲が勝つ確率は $s$ だけで決まる。まず $s\leqq N$ のときの甲の勝率を求め、それを $s=a$ または $s=a+b$ に代入する。

解法1

甲の合計を $s$ とする。ただし、$s\leqq N$ とする。

乙が1回目に引いた数を $c$ とする。$s<c$ なら、その時点で乙の勝ちである。したがって、甲が勝つ可能性があるのは $c\leqq s$ のときだけである。

$c\leqq s$ のとき、乙は2回目に数 $d$ を引く。乙が勝つ条件は

$$ s<c+d\leqq N

$$

である。これは

$$ s-c<d\leqq N-c

$$

と同値である。

この範囲に入る整数 $d$ の個数は

$$ (N-c)-(s-c)=N-s

$$

である。よって、$c\leqq s$ のもとで乙が勝つ確率は

$$ \frac{N-s}{N}

$$

であり、甲が勝つ確率は

$$ 1-\frac{N-s}{N}=\frac{s}{N}

$$

である。

また、$c\leqq s$ となる確率は

$$ \frac{s}{N}

$$

であるから、甲の合計が $s\leqq N$ のとき、甲が勝つ確率は

$$ \frac{s}{N}\cdot \frac{s}{N}=\frac{s^2}{N^2}

$$

である。

（1） 甲が2回目にカードをひかないときは $b=0$ であり、甲の合計は $s=a$ である。したがって、甲の勝つ確率は

$$ \frac{a^2}{N^2}

$$

である。

（2） 甲が2回目にカードをひくとき、その数を $b$ とする。

$a+b>N$ のときは、その時点で乙の勝ちとなるので、甲の勝つ確率への寄与は $0$ である。甲が勝つ可能性があるのは

$$ a+b\leqq N

$$

すなわち

$$ 1\leqq b\leqq N-a

$$

のときである。

このとき甲の合計は $s=a+b$ であるから、甲が勝つ確率は

$$ \frac{(a+b)^2}{N^2}

$$

である。各カードがひかれる確率は等しいので、求める確率は

$$ \frac{1}{N}\sum_{b=1}^{N-a}\frac{(a+b)^2}{N^2}

$$

である。よって

$$ \begin{aligned} \frac{1}{N^3}\sum_{b=1}^{N-a}(a+b)^2 &= \frac{1}{N^3}\sum_{k=a+1}^{N}k^2 \end{aligned} $$

となる。

平方和の公式を用いると、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=a+1}^{N}k^2 &= \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} \\ \frac{a(a+1)(2a+1)}{6} \end{aligned} $$

であるから、甲が2回目にカードをひくときの勝つ確率は

$$ \frac{N(N+1)(2N+1)-a(a+1)(2a+1)}{6N^3}

$$

である。

解説

この問題では、乙の1回目の数 $c$ と2回目の数 $d$ を直接すべて数え上げるより、甲の合計 $s$ に対する勝率を先に求めるのが自然である。

甲の合計が $s$ のとき、乙の1回目で $c\leqq s$ となる確率が $\frac{s}{N}$、さらにその後に甲が勝つ確率も $\frac{s}{N}$ になるため、勝率は $\frac{s^2}{N^2}$ となる。この形を得れば、（1） は $s=a$ を代入するだけで済み、（2） は $s=a+b$ について平均を取ればよい。

また、2回目をひく方が有利である条件は

$$ \frac{N(N+1)(2N+1)-a(a+1)(2a+1)}{6N^3}

>

\frac{a^2}{N^2}

$$

である。すなわち

$$ N(N+1)(2N+1)-a(a+1)(2a+1)>6Na^2

$$

のとき、甲は2回目をひく方が有利である。逆向きの不等号が成り立つときは、2回目をひかない方が有利である。

答え

**(1)**

$$ \frac{a^2}{N^2}

$$

**(2)**

$$ \begin{aligned} \frac{1}{N^3}\sum_{k=a+1}^{N}k^2 &= \frac{N(N+1)(2N+1)-a(a+1)(2a+1)}{6N^3} \end{aligned} $$