基礎問題集
数学A 確率「条件付き確率」の問題8 解説
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解説
方針・初手
$A$ は「3回のうち少なくとも1回表」、$B$ は「2回目が裏」である。まず $A \cap B$ の確率を数え、次に条件付き確率
$$ P(B\mid A),\quad P(B\mid A^c)
$$
を比較する。
解法1
$A \cap B$ は、「2回目が裏で、かつ3回すべてが裏ではない」という事象である。
2回目が裏である確率は $q=1-p$ であり、そのもとで1回目と3回目がともに裏でないことが必要である。したがって
$$ P(A\cap B)=q(1-q^2)
$$
である。$q=1-p$ を代入すると
$$ \begin{aligned} f(p) &=(1-p){1-(1-p)^2} \\ &=(1-p)(2p-p^2) \\ &=p(1-p)(2-p) \end{aligned}
$$
となる。したがって
$$ y=f(p)=p(1-p)(2-p)\qquad 0\leqq p\leqq 1
$$
である。
グラフを描くために増減を調べる。
$$ f(p)=2p-3p^2+p^3
$$
より
$$ f'(p)=2-6p+3p^2
$$
である。$f'(p)=0$ を解くと
$$ 3p^2-6p+2=0
$$
より
$$ p=1\pm \frac{1}{\sqrt{3}}
$$
である。区間 $0\leqq p\leqq 1$ に入るのは
$$ p=1-\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
だけである。
また、
$$ f(0)=0,\qquad f(1)=0
$$
であり、極大値は
$$ \begin{aligned} f\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) &=\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\frac{1}{\sqrt{3}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \\ &=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(1-\frac{1}{3}\right) \\ &=\frac{2}{3\sqrt{3}} \\ &=\frac{2\sqrt{3}}{9} \end{aligned}
$$
である。
よって、$y=f(p)$ のグラフは、$p=0$ と $p=1$ で $0$ となり、
$$ p=1-\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
で最大値
$$ \frac{2\sqrt{3}}{9}
$$
をとる曲線である。
次に条件付き確率を求める。
$A$ は「少なくとも1回表」であるから、
$$ P(A)=1-q^3=1-(1-p)^3
$$
である。よって、$0<p<1$ において
$$ \begin{aligned} Q_1 &=P(B\mid A) \\ &=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \\ &=\frac{p(1-p)(2-p)}{1-(1-p)^3} \end{aligned}
$$
である。分母を整理すると
$$ 1-(1-p)^3=p(3-3p+p^2)
$$
だから、
$$ Q_1=\frac{(1-p)(2-p)}{3-3p+p^2}
$$
となる。
一方、$A$ が起こらないとは、3回とも裏が出ることである。すなわち $A^c$ が起こったならば、2回目は必ず裏である。したがって
$$ Q_2=P(B\mid A^c)=1
$$
である。
したがって $Q_1<Q_2$ は
$$ \frac{(1-p)(2-p)}{3-3p+p^2}<1
$$
と同値である。分母 $3-3p+p^2$ は $0<p<1$ で正であるから、
$$ (1-p)(2-p)<3-3p+p^2
$$
を調べればよい。
左辺を展開すると
$$ (1-p)(2-p)=2-3p+p^2
$$
である。したがって
$$ 2-3p+p^2<3-3p+p^2
$$
となり、これは常に成り立つ。
ただし、$Q_1$ と $Q_2$ がともに条件付き確率として定義されるためには、$P(A)>0$ かつ $P(A^c)>0$ が必要である。これは
$$ 0<p<1
$$
である。
解説
(1) では、$B$ を先に固定すると考えやすい。2回目が裏であることを決めたあと、「少なくとも1回表」が失敗するのは3回とも裏の場合だけである。
(2) では、$A^c$ の意味を正確に読むことが重要である。$A^c$ は「表が1回も出ない」、すなわち「3回とも裏」であるから、その条件下では $B$ は必ず起こる。したがって $Q_2=1$ となる。
条件付き確率は条件とする事象の確率が $0$ のとき定義されない。そのため、最終的な $p$ の範囲では $p=0,1$ を除く必要がある。
答え
**(1)**
$$ f(p)=p(1-p)(2-p)\qquad 0\leqq p\leqq 1
$$
グラフは、$(0,0)$ と $(1,0)$ を通り、
$$ p=1-\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
で最大値
$$ \frac{2\sqrt{3}}{9}
$$
をとる曲線である。
**(2)**
$$ 0<p<1
$$