解説

方針・初手

各試行で赤玉が出る確率は常に

$$ \frac{3}{10}

$$

白玉が出る確率は常に

$$ \frac{7}{10}

$$

である。玉は毎回もとに戻すので、各回の結果は独立である。

「$n$回目に3度目の赤玉が出る」は、$1$回目から$n-1$回目までに赤玉がちょうど$2$回出て、さらに$n$回目に赤玉が出ることを意味する。

また、「2度以上連続することなく」は、赤玉どうしが隣り合わないこととして数えればよい。

解法1

まず、赤玉が出る事象を$R$、白玉が出る事象を$W$とする。

(1)

$n$回目に3度目の赤玉が出るためには、最初の$n-1$回のうち赤玉がちょうど$2$回出て、$n$回目に赤玉が出ればよい。

最初の$n-1$回のうち、赤玉が出る$2$回の位置の選び方は

$$ {}_{n-1}C_2

$$

通りである。

したがって、求める確率は

$$ {}_{n-1}C_2\left(\frac{3}{10}\right)^2\left(\frac{7}{10}\right)^{n-3}\cdot \frac{3}{10}

$$

である。よって

$$ {}_{n-1}C_2\left(\frac{3}{10}\right)^3\left(\frac{7}{10}\right)^{n-3}

$$

となる。

(2)

$n$回のうち赤玉がちょうど$3$回出て、しかも赤玉どうしが隣り合わない場合を数える。

$n$個の位置の中から、隣り合わないように赤玉の位置を$3$個選ぶ方法を考える。

赤玉の位置を

$$ 1 \leq a_1 < a_2 < a_3 \leq n

$$

とする。赤玉が隣り合わない条件は

$$ a_2-a_1 \geq 2,\qquad a_3-a_2 \geq 2

$$

である。

ここで

$$ b_1=a_1,\qquad b_2=a_2-1,\qquad b_3=a_3-2

$$

とおくと、

$$ 1 \leq b_1 < b_2 < b_3 \leq n-2

$$

となる。したがって、隣り合わない赤玉の位置の選び方は

$$ {}_{n-2}C_3

$$

通りである。

それぞれの並びの確率は、赤玉が$3$回、白玉が$n-3$回出るので

$$ \left(\frac{3}{10}\right)^3\left(\frac{7}{10}\right)^{n-3}

$$

である。

よって、求める確率は

$$ {}_{n-2}C_3\left(\frac{3}{10}\right)^3\left(\frac{7}{10}\right)^{n-3}

$$

である。

(3)

条件は「$n$回目に3度目の赤玉が出た」である。

この条件のもとでは、$n$回目は赤玉であり、$1$回目から$n-1$回目までに赤玉がちょうど$2$回出ている。

したがって、条件に合う赤玉の位置の選び方は、最初の$n-1$個の位置から赤玉の位置を$2$個選ぶことであり、

$$ {}_{n-1}C_2

$$

通りである。

次に、このうち赤玉が2度以上連続しない場合を数える。

$n$回目は赤玉であるから、赤玉が連続しないためには、$n-1$回目は白玉でなければならない。したがって、残り2個の赤玉は$1$回目から$n-2$回目までに置く。

さらに、その2個の赤玉どうしも隣り合ってはいけない。よって、$1,2,\ldots,n-2$の中から隣り合わない2個の位置を選ぶことになる。

$n-2$個の位置から隣り合わない2個を選ぶ方法は

$$ {}_{n-3}C_2

$$

通りである。

したがって、求める条件付き確率は

$$ \frac{{}*{n-3}C_2}{{}*{n-1}C_2}

$$

である。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} \frac{{}*{n-3}C_2}{{}*{n-1}C_2} &= \frac{\dfrac{(n-3)(n-4)}{2}}{\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}} \\ \frac{(n-3)(n-4)}{(n-1)(n-2)} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、玉を毎回もとに戻すため、各試行は独立であり、赤玉の出る確率は常に$\frac{3}{10}$である。そのため、確率計算そのものは二項分布型になる。

ただし、(1)では「$n$回目に3度目」という時刻の条件があるため、$n$回全体で赤玉が3回出るだけでは不十分である。必ず「最初の$n-1$回で赤玉が2回、$n$回目で赤玉」と分けて考える必要がある。

(2)では、赤玉が3回出る位置を隣り合わないように選ぶ組合せの数が要点である。$k$個の位置から隣り合わない$r$個を選ぶ数は

$$ {}_{k-r+1}C_r

$$

であり、ここでは$k=n,\ r=3$として${}_{n-2}C_3$になる。

(3)は条件付き確率であるが、確率の値をすべて書き出すよりも、条件のもとで可能な赤玉の位置の数を比べる方が簡潔である。条件「$n$回目に3度目の赤玉」が固定されると、残り2個の赤玉の位置をどこに置くかだけを数えればよい。

答え

**(1)**

$$ {}_{n-1}C_2\left(\frac{3}{10}\right)^3\left(\frac{7}{10}\right)^{n-3}

$$

**(2)**

$$ {}_{n-2}C_3\left(\frac{3}{10}\right)^3\left(\frac{7}{10}\right)^{n-3}

$$

**(3)**

$$ \begin{aligned} \frac{{}*{n-3}C_2}{{}*{n-1}C_2} &= \frac{(n-3)(n-4)}{(n-1)(n-2)} \end{aligned} $$