解説

方針・初手

検査結果から実際に病気である確率を求める問題なので、条件付き確率、特にベイズの定理を用いる。

病気にかかっている事象を $X$、陽性と判定される事象を $+$、陰性と判定される事象を $-$ とする。

与えられた確率は

$$ P(X)=0.04,\quad P(\overline{X})=0.96

$$

$$ P(+\mid X)=0.80,\quad P(+\mid \overline{X})=0.10

$$

である。また、陰性と判定される確率はそれぞれ

$$ P(-\mid X)=0.20,\quad P(-\mid \overline{X})=0.90

$$

である。

解法1

（1） 陽性と判定された人が病気 $X$ にかかっている確率は $P(X\mid +)$ である。

ベイズの定理より、

$$ P(X\mid +)=\frac{P(X)P(+\mid X)}{P(X)P(+\mid X)+P(\overline{X})P(+\mid \overline{X})}

$$

である。

各値を代入すると、

$$ \begin{aligned} P(X\mid +) &= \frac{0.04\cdot 0.80}{0.04\cdot 0.80+0.96\cdot 0.10} \end{aligned} $$

# $$

# \frac{0.032}{0.032+0.096}

# \frac{0.032}{0.128}

\frac{1}{4}

$$

したがって、陽性と判定された人が実際に病気 $X$ にかかっている確率は

$$

25%

$$

である。

（2） 陰性と判定された人が実際には病気 $X$ にかかっている確率は $P(X\mid -)$ である。

ベイズの定理より、

$$

P(X\mid -)=\frac{P(X)P(-\mid X)}{P(X)P(-\mid X)+P(\overline{X})P(-\mid \overline{X})}

$$

である。

各値を代入すると、

$$

P(X\mid -) ==========

\frac{0.04\cdot 0.20}{0.04\cdot 0.20+0.96\cdot 0.90}

$$ \begin{aligned} \frac{0.008}{0.008+0.864} \\ \frac{0.008}{0.872} \end{aligned} $$

分母・分子に $1000$ をかけると、

$$ \begin{aligned} \frac{0.008}{0.872} &= \frac{8}{872} \\ \frac{1}{109} \end{aligned} $$

したがって、陰性と判定された人が実際には病気 $X$ にかかっている確率は

$$ \frac{1}{109}

$$

である。百分率では

$$ \frac{1}{109}\times 100 \fallingdotseq 0.917%

$$

である。

解説

この問題では、検査の正確さだけでなく、病気にかかっている人の割合が小さいことが重要である。

陽性と判定された人の中には、実際には病気でないにもかかわらず陽性と判定された人も含まれる。特に、病気でない人は全体の $96%$ と多いため、偽陽性の確率が $10%$ でも、陽性者全体の中では無視できない人数になる。

そのため、$P(+\mid X)=80%$ だけを見て「陽性なら病気の確率は $80%$」としてはいけない。求めるのは $P(X\mid +)$ であり、これは $P(+\mid X)$ とは別の確率である。

陰性の場合も同様に、求めるのは $P(X\mid -)$ である。病気であるにもかかわらず陰性になる確率は $20%$ だが、もともと病気にかかっている人が $4%$ と少ないため、陰性者の中で実際に病気である割合はかなり小さくなる。

答え

**(1)**

$$ \frac{1}{4}=25%

$$

**(2)**

$$ \frac{1}{109}\fallingdotseq 0.917%

$$