基礎問題集
数学A 確率「期待値」の問題35 解説
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解説
方針・初手
「扉がある」「センサーが反応する」「宝物がある」という事象を分けて考える。
ロボットは $n$ 本の経路を等確率で選ぶので、最初に扉のある位置へ移動する確率は、扉のある位置の個数 $k$ を全体の個数 $n$ で割ればよい。
センサーが反応した後は、反応したという情報によって確率が更新されるため、条件付き確率を用いる。
解法1
扉のある位置へ移動する事象を $D$、扉センサーが反応する事象を $R$、宝物のある扉へ移動する事象を $T$ とする。
まず、扉のある位置は $n$ 箇所中 $k$ 箇所であるから、
$$ P(D)=\frac{k}{n}
$$
である。よって、(1) の答えは
$$ \frac{k}{n}
$$
である。
次に、センサーが反応する確率 $P(R)$ を求める。
扉がある位置に移動した場合、センサーが反応する確率は $0.8$ である。一方、扉がない位置に移動した場合、センサーが反応する確率は $0.1$ である。
したがって、全確率の公式より、
$$ \begin{aligned} P(R) &=P(D)P(R\mid D)+P(\overline{D})P(R\mid \overline{D}) \\ &=\frac{k}{n}\cdot 0.8+\frac{n-k}{n}\cdot 0.1 \\ &=\frac{0.8k+0.1(n-k)}{n} \\ &=\frac{0.1n+0.7k}{n} \\ &=\frac{n+7k}{10n} \end{aligned}
$$
である。
よって、センサーが反応しているときに実際に扉のある位置へ移動している確率は、条件付き確率より、
$$ \begin{aligned} P(D\mid R) &=\frac{P(D)P(R\mid D)}{P(R)} \\ &=\frac{\frac{k}{n}\cdot 0.8}{\frac{n+7k}{10n}} \\ &=\frac{\frac{8k}{10n}}{\frac{n+7k}{10n}} \\ &=\frac{8k}{n+7k} \end{aligned}
$$
である。よって、(2) の答えは
$$ \frac{8k}{n+7k}
$$
である。
次に、ポイントの期待値を求める。
宝物がある扉は $s$ 箇所であるから、最初の位置 $O$ にいる時点で、ロボットが宝物のある扉へ向かう確率は
$$ P(T)=\frac{s}{n}
$$
である。
宝物を見つけたときに得られるポイントは $100$ ポイントなので、最初の位置 $O$ にいるときのポイントの期待値は
$$ 100\cdot \frac{s}{n}=\frac{100s}{n}
$$
である。
次に、センサーが反応してから扉を開ける動作に入る前の期待値を求める。
このとき求めるべき確率は、センサーが反応したという条件のもとで、宝物のある扉へ移動している確率 $P(T\mid R)$ である。
宝物がある位置には必ず扉があるので、その位置でセンサーが反応する確率は $0.8$ である。したがって、
$$ P(T\cap R)=P(T)P(R\mid T)=\frac{s}{n}\cdot 0.8=\frac{8s}{10n}
$$
である。
また、すでに求めたように、
$$ P(R)=\frac{n+7k}{10n}
$$
である。よって、
$$ \begin{aligned} P(T\mid R) &=\frac{P(T\cap R)}{P(R)} \\ &=\frac{\frac{8s}{10n}}{\frac{n+7k}{10n}} \\ &=\frac{8s}{n+7k} \end{aligned}
$$
である。
したがって、センサーが反応して扉を開ける動作に入る前のポイントの期待値は
$$ 100\cdot \frac{8s}{n+7k} =\frac{800s}{n+7k}
$$
である。
解説
この問題の中心は、センサーの反応を「扉があることの確定情報」と考えない点である。
センサーは、扉があるときには $0.8$ の確率で反応するが、扉がないときにも $0.1$ の確率で反応する。したがって、センサーが反応しても、実際に扉があるとは限らない。
そのため、(2) では
$$ P(D\mid R)
$$
を求める必要があり、単に $0.8$ としてはいけない。
また、(3) の後半も同様に、センサーが反応したという条件のもとで、宝物のある扉へ移動している確率を求める問題である。宝物のある位置は $s$ 箇所だけなので、分子には $s$ が現れるが、センサーが反応する全体の確率には、宝物の有無に関係なく扉のある $k$ 箇所と扉のない $n-k$ 箇所が関係する。したがって、分母には $n+7k$ が現れる。
答え
**(1)**
$$ \frac{k}{n}
$$
**(2)**
$$ \frac{8k}{n+7k}
$$
**(3)**
最初の位置 $O$ にいるときのポイントの期待値は
$$ \frac{100s}{n}
$$
である。
扉センサーが反応して扉を開ける動作に入る前のポイントの期待値は
$$ \frac{800s}{n+7k}
$$
である。