解説

方針・初手

3点は各回独立に $A_1,\dots,A_6$ から選ばれると考える。したがって全事象は $6^3$ 通りであり、2点以上が一致する場合は面積 $0$ である。

3点がすべて異なる場合、同じ三角形は頂点の選び方の順序により $3!$ 通り現れる。よって、まず正六角形の頂点から異なる3点を選ぶ三角形 $ {6 \choose 3}=20$ 個の面積の総和を求めればよい。

解法1

正六角形の外接円の半径が $1$ なので、正六角形の一辺の長さも $1$ である。

異なる3頂点でできる三角形を、円周上で隣り合う選択頂点の間にある正六角形の辺の個数で分類する。この3つの個数の和は $6$ であるから、順序を無視すると次の3種類しかない。

**(i)**

$(1,1,4)$ の場合

これは連続する3頂点を選ぶ場合である。例えば $A_1,A_2,A_3$ を選ぶと、底辺 $A_2A_3$ の長さは $1$、高さは正三角形の高さに等しく $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である。

したがって面積は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} &= \frac{\sqrt{3}}{4} \end{aligned} $$

である。この型の三角形は、連続する3頂点の選び方に対応するので $6$ 個ある。

**(ii)**

$(1,2,3)$ の場合

例えば $A_1,A_2,A_4$ を選ぶ場合である。$A_1A_4$ は直径なので長さは $2$ であり、点 $A_2$ からこの直径への距離は $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である。

したがって面積は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} &= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} $$

である。

異なる3頂点の選び方は全部で

$$ {6\choose 3}=20

$$

通りであり、（i） が $6$ 個、後で扱う （iii） が $2$ 個なので、この型は

$$ 20-6-2=12

$$

個ある。

**(iii)**

$(2,2,2)$ の場合

これは1つおきに3頂点を選ぶ場合である。例えば $A_1,A_3,A_5$ を選ぶと、正三角形ができる。

この正三角形の一辺の長さは、中心角 $120^\circ$ に対する弦の長さなので

$$ 2\sin 60^\circ=\sqrt{3}

$$

である。よって面積は

$$ \begin{aligned} \frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{3})^2 &= \frac{3\sqrt{3}}{4} \end{aligned} $$

である。この型は $A_1,A_3,A_5$ と $A_2,A_4,A_6$ の $2$ 個である。

したがって、異なる3頂点でできる三角形の面積の総和は

$$ \begin{aligned} 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + 12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\cdot \frac{3\sqrt{3}}{4} &= 9\sqrt{3} \end{aligned} $$

である。

一方、3点を順序つきで選ぶ全体は $6^3=216$ 通りである。異なる3頂点からなる1つの三角形は、選ぶ順序が $3!=6$ 通りある。

よって求める期待値は

$$ \begin{aligned} \frac{6\cdot 9\sqrt{3}}{216} &= \frac{\sqrt{3}}{4} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、「3点を選ぶ」とあるが、2点以上が一致した場合を面積 $0$ としているため、3回独立に頂点を選ぶ、すなわち順序つき・重複ありの選び方として扱う必要がある。

面積の計算自体は、正六角形の対称性により3種類に分類できる。特に、異なる3頂点の三角形を円周上の間隔 $(1,1,4),(1,2,3),(2,2,2)$ に分けると、数え上げと面積計算が整理される。

答え

$$ \frac{\sqrt{3}}{4}

$$