基礎問題集
数学A 確率「期待値」の問題39 解説
数学Aの確率「期待値」にある問題39の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
7枚を取り出して最大値 $X$ を考えるより、全体の場合の数をまず ${}_{9}\mathrm{C}_{7}$ とし、最大値が特定の値になる条件を数えるのが基本である。
最大値が $k$ であるためには、カード $k$ が含まれ、かつ $k+1,k+2,\dots,9$ は含まれない必要がある。
解法1
9枚のカードから7枚を選ぶので、すべての場合の数は
$$ {}_{9}\mathrm{C}_{7}=36
$$
である。
(1)
$X=8$ となるには、取り出した7枚の中に $8$ が含まれ、$9$ が含まれない必要がある。
残りの6枚は $1,2,\dots,7$ の7枚から選べばよいので、その場合の数は
$$ {}_{7}\mathrm{C}_{6}=7
$$
である。
したがって、
$$ P(X=8)=\frac{{}_{7}\mathrm{C}_{6}}{{}_{9}\mathrm{C}_{7}} =\frac{7}{36}
$$
である。
(2)
7枚を取り出すので、最大値 $X$ は $7,8,9$ のいずれかである。
$X=k$ となるには、$k$ を必ず含み、残り6枚を $1,2,\dots,k-1$ から選べばよい。したがって
$$ P(X=k)=\frac{{}_{k-1}\mathrm{C}_{6}}{{}_{9}\mathrm{C}_{7}} \qquad (k=7,8,9)
$$
である。
それぞれ計算すると、
$$ P(X=7)=\frac{{}_{6}\mathrm{C}_{6}}{36}=\frac{1}{36}
$$
$$ P(X=8)=\frac{{}_{7}\mathrm{C}_{6}}{36}=\frac{7}{36}
$$
$$ P(X=9)=\frac{{}_{8}\mathrm{C}_{6}}{36}=\frac{28}{36}
$$
である。
よって期待値は
$$ \begin{aligned} E(X) &=7\cdot \frac{1}{36} +8\cdot \frac{7}{36} +9\cdot \frac{28}{36} \\ &=\frac{7+56+252}{36} \\ &=\frac{315}{36} \\ &=\frac{35}{4} \end{aligned}
$$
である。
解法2
7枚を取り出すことは、9枚の中から2枚を取り出さずに残すことと同じである。
(1)
$X=8$ となるには、$9$ は取り出されず、$8$ は取り出される必要がある。
つまり、取り出されない2枚のうち1枚は $9$ であり、もう1枚は $1,2,\dots,7$ のどれかである。
したがって場合の数は
$$ 7
$$
通りである。
取り出されない2枚の選び方は
$$ {}_{9}\mathrm{C}_{2}=36
$$
通りなので、
$$ P(X=8)=\frac{7}{36}
$$
である。
(2)
取り出されない2枚に注目する。
**(i)**
$X=9$ の場合
$9$ が取り出されればよいので、取り出されない2枚はいずれも $1,2,\dots,8$ から選ばれる。
したがって
$$ {}_{8}\mathrm{C}_{2}=28
$$
通りである。
**(ii)**
$X=8$ の場合
取り出されない2枚は、$9$ と $1,2,\dots,7$ のうち1枚である。
したがって
$$ 7
$$
通りである。
**(iii)**
$X=7$ の場合
$8,9$ がともに取り出されない必要がある。
したがって
$$ 1
$$
通りである。
よって
$$ \begin{aligned} E(X) &=9\cdot \frac{28}{36} +8\cdot \frac{7}{36} +7\cdot \frac{1}{36} \\ &=\frac{252+56+7}{36} \\ &=\frac{315}{36} \\ &=\frac{35}{4} \end{aligned}
$$
である。
解説
この問題では、7枚を順に取り出すのではなく、「どの7枚が選ばれたか」だけを考えればよい。無作為に7枚を取り出すので、7枚の組合せはすべて等確率である。
最大値を扱う典型的な方法は、「最大値が $k$ である」とき、$k$ を含み、それより大きい数を含まないという条件に直すことである。また、この問題では9枚中7枚を取るため、逆に「取り出されない2枚」に注目しても簡潔に数えられる。
答え
**(1)**
$$ P(X=8)=\frac{7}{36}
$$
**(2)**
$$ E(X)=\frac{35}{4}
$$