解説

方針・初手

複数人のジャンケンで勝者が出るのは、出された手がちょうど2種類のときである。

このとき、例えば「グーとチョキだけ」が出れば、グーを出した人全員が勝者になる。同様に、勝敗が決まる2種類の手の組は3通りある。

したがって、「勝つ手を出した人を選ぶ」という数え方をする。

解法1

まず、$n$人のうちちょうど$r$人が勝つ場合を考える。ただし、$1 \leqq r < n$である。

勝敗が決まるには、出る手がちょうど2種類でなければならない。勝つ手と負ける手の組は、

• グーがチョキに勝つ
• チョキがパーに勝つ
• パーがグーに勝つ

の3通りである。

このうち1つの勝敗の組を固定する。たとえば、勝つ手をグー、負ける手をチョキとする。このとき、$n$人のうち勝者となる$r$人を選べば、その$r$人はグーを出し、残りの$n-r$人はチョキを出すことになる。

よって、このような出し方は

$$ {}_nC_r

$$

通りである。

勝敗の組は3通りあるので、ちょうど$r$人が勝つ出し方の総数は

$$ 3{}_nC_r

$$

通りである。

一方、各人はグー、チョキ、パーをそれぞれ独立に確率$\dfrac{1}{3}$で出すから、全体の出し方は

$$ 3^n

$$

通りであり、どれも同じ確率で起こる。

したがって、$n$人で一度だけジャンケンをするとき、$r$人が勝つ確率は

$$ \begin{aligned} \frac{3{}_nC_r}{3^n} &= \frac{{}_nC_r}{3^{n-1}} \end{aligned} $$

である。

次に、(1)として$n=4$の場合を求める。

1人だけが勝つ確率は、上の式で$r=1$として

$$ \begin{aligned} \frac{{}_4C_1}{3^3} &= \frac{4}{27} \end{aligned} $$

である。

2人が勝つ確率は、$r=2$として

$$ \begin{aligned} \frac{{}_4C_2}{3^3} &= \frac{6}{27} \\ \frac{2}{9} \end{aligned} $$

である。

3人が勝つ確率は、$r=3$として

$$ \begin{aligned} \frac{{}_4C_3}{3^3} &= \frac{4}{27} \end{aligned} $$

である。

引き分けになる確率は、勝者が出ない確率である。したがって、全体から「1人、2人、3人が勝つ場合」を引けばよい。

$$ \begin{aligned} 1-\left(\frac{4}{27}+\frac{6}{27}+\frac{4}{27}\right) &= 1-\frac{14}{27} \\ \frac{13}{27} \end{aligned} $$

よって、4人の場合の引き分けの確率は

$$ \frac{13}{27}

$$

である。

次に、(3)を考える。

二項定理より、

$$ \begin{aligned} (1+1)^n &= \sum_{r=0}^{n}{}_nC_r \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} 2^n &= {}*nC_0+\sum*{r=1}^{n-1}{}_nC_r+{}_nC_n \end{aligned} $$

である。

ここで、

$$ {}_nC_0=1,\qquad {}_nC_n=1

$$

だから、

$$ \begin{aligned} 2^n &= 1+\sum_{r=1}^{n-1}{}_nC_r+1 \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ \begin{aligned} \sum_{r=1}^{n-1}{}_nC_r &= 2^n-2 \end{aligned} $$

が成り立つ。

$n$人で一度だけジャンケンをするとき、勝者が出る確率は、$r=1$から$r=n-1$までの確率の和である。よって、

$$ \begin{aligned} \sum_{r=1}^{n-1}\frac{{}_nC_r}{3^{n-1}} &= \frac{1}{3^{n-1}}\sum_{r=1}^{n-1}{}_nC_r \end{aligned} $$

である。

先ほど示した式を用いると、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{3^{n-1}}\sum_{r=1}^{n-1}{}_nC_r &= \frac{2^n-2}{3^{n-1}} \end{aligned} $$

となる。

これは勝者が出る確率であるから、引き分けになる確率は

$$ 1-\frac{2^n-2}{3^{n-1}}

$$

である。

整理すると、

$$ \begin{aligned} 1-\frac{2^n-2}{3^{n-1}} &= \frac{3^{n-1}-2^n+2}{3^{n-1}} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、「勝者の人数」を直接考えるよりも、「勝つ手と負ける手の2種類だけが出る」と捉えるのが重要である。

$r$人が勝つ場合、勝つ手を出す$r$人を選ぶと、残りの$n-r$人は負ける手を出すことになる。勝敗の組は3通りあるため、出し方の数は$3{}_nC_r$通りになる。

また、引き分けは「全員同じ手」または「3種類すべての手が出る」場合であるが、これを直接数えるよりも、勝者が出る確率を求めて全体から引く方が計算が簡単である。

答え

**(1)**

1人だけが勝つ確率は

$$ \frac{4}{27}

$$

2人が勝つ確率は

$$ \frac{2}{9}

$$

3人が勝つ確率は

$$ \frac{4}{27}

$$

引き分けになる確率は

$$ \frac{13}{27}

$$

である。

**(2)**

$n$人で一度だけジャンケンをするとき、$r$人が勝つ確率は

$$ \frac{{}_nC_r}{3^{n-1}}

$$

である。ただし、$n \geqq 2,\ 1 \leqq r < n$である。

**(3)**

$$ \sum_{r=1}^{n-1}{}_nC_r=2^n-2

$$

が成り立つ。

また、$n$人で一度だけジャンケンをするとき、引き分けになる確率は

$$ \begin{aligned} 1-\frac{2^n-2}{3^{n-1}} &= \frac{3^{n-1}-2^n+2}{3^{n-1}} \end{aligned} $$

である。