解説

方針・初手

各回のじゃんけん後に「勝ち残っている人数」が何人になるかを状態として考える。最初は $3$ 人であり、状態は $3$ 人、$2$ 人、$1$ 人のいずれかである。$1$ 人になった時点で終了する。

解法1

まず、$3$ 人でじゃんけんをするときの結果を考える。各人の手は $3$ 通りずつあるので、全事象は

$$ 3^3=27

$$

通りである。

$3$ 人とも同じ手を出す場合は $3$ 通り、$3$ 人がすべて異なる手を出す場合は

$$ 3!=6

$$

通りである。このときはあいこであり、負けた者はいないので $3$ 人がそのまま勝ち残る。したがって、$3$ 人が勝ち残る確率は

$$ \frac{3+6}{27}=\frac{1}{3}

$$

である。

次に、$2$ 人が同じ手を出し、残り $1$ 人が別の手を出す場合を考える。この場合は全部で

$$ 27-9=18

$$

通りある。このうち、$2$ 人の手が残り $1$ 人の手に勝つ場合は、その $2$ 人が勝ち残る。

例えば、$2$ 人がグー、$1$ 人がチョキのような場合である。勝つ手の種類は $3$ 通りあり、別の手を出す $1$ 人の選び方が $3$ 通りあるので、

$$ 3\cdot 3=9

$$

通りである。よって、$2$ 人が勝ち残る確率は

$$ \frac{9}{27}=\frac{1}{3}

$$

である。

したがって、（1） の答えは

$$ \frac{1}{3},\quad \frac{1}{3}

$$

である。

次に、$2$ 人でじゃんけんをするときの結果を考える。$2$ 人の手の出し方は

$$ 3^2=9

$$

通りである。同じ手を出してあいこになるのは $3$ 通りなので、$2$ 人がそのまま残る確率は

$$ \frac{3}{9}=\frac{1}{3}

$$

である。一方、異なる手を出して $1$ 人だけが勝つ確率は

$$ \frac{6}{9}=\frac{2}{3}

$$

である。

ちょうど $3$ 回でじゃんけんが終わるためには、$1$ 回目、$2$ 回目では終了せず、$3$ 回目で終了すればよい。

場合を分ける。

**(i)**

$1$ 回目も $2$ 回目も $3$ 人が残り、$3$ 回目で $1$ 人になる場合

$$ \begin{aligned} \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3} &= \frac{1}{27} \end{aligned} $$

**(ii)**

$1$ 回目で $3$ 人が残り、$2$ 回目で $2$ 人が残り、$3$ 回目で $1$ 人になる場合

$$ \begin{aligned} \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3} &= \frac{2}{27} \end{aligned} $$

**(iii)**

$1$ 回目で $2$ 人が残り、$2$ 回目も $2$ 人が残り、$3$ 回目で $1$ 人になる場合

$$ \begin{aligned} \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3} &= \frac{2}{27} \end{aligned} $$

以上より、ちょうど $3$ 回で終わる確率は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{27}+\frac{2}{27}+\frac{2}{27} &= \frac{5}{27} \end{aligned} $$

である。

最後に、$n$ 回以下で終わる確率を求める。

$n$ 回以下で終わる確率は、「$n$ 回終えてもまだ終わっていない確率」を $1$ から引けばよい。

$k$ 回後にまだ終わっていない状態は、$3$ 人が残っているか、$2$ 人が残っているかのどちらかである。

$3$ 人の状態からは、次の $1$ 回で

$$ 3人\to 3人 \quad \text{の確率 } \frac{1}{3}, \qquad 3人\to 2人 \quad \text{の確率 } \frac{1}{3}

$$

である。また、$2$ 人の状態からは、次の $1$ 回で

$$ 2人\to 2人 \quad \text{の確率 } \frac{1}{3}

$$

である。

$n$ 回後にもまだ終わっていない確率を直接数える。$n$ 回すべてで終了していないとする。

このとき、$3$ 人のまま $n$ 回続く場合の確率は

$$ \left(\frac{1}{3}\right)^n

$$

である。

また、ある回で初めて $3$ 人から $2$ 人になり、その後は $2$ 人のまま残る場合を考える。$3$ 人から $2$ 人になる回は $1$ 回目から $n$ 回目までの $n$ 通りある。

そのどの場合でも、各回で終了しない確率の積は

$$ \left(\frac{1}{3}\right)^n

$$

である。したがって、この確率の合計は

$$ n\left(\frac{1}{3}\right)^n

$$

である。

よって、$n$ 回後にもまだ終わっていない確率は

$$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{3}\right)^n+n\left(\frac{1}{3}\right)^n &= \frac{n+1}{3^n} \end{aligned} $$

である。

したがって、$n$ 回以下で終わる確率は

$$ 1-\frac{n+1}{3^n}

$$

である。

解説

この問題では、各回の手の出し方を細かく追い続けるよりも、「勝ち残っている人数」に注目するのが有効である。

$3$ 人のときは、次の $1$ 回で $3$ 人、$2$ 人、$1$ 人のいずれにも確率 $\frac{1}{3}$ で移る。一方、$2$ 人になった後は、あいこなら $2$ 人のまま、勝負がつけば $1$ 人になって終了する。

特に （3） では、「$n$ 回以下で終わる確率」を直接求めるより、「$n$ 回後にもまだ終わっていない確率」を考える方が簡潔である。

答え

**(1)**

$1$ 回のじゃんけんの後、$3$ 人が勝ち残っている確率は

$$ \frac{1}{3}

$$

$2$ 人が勝ち残っている確率は

$$ \frac{1}{3}

$$

**(2)**

ちょうど $3$ 回でじゃんけんが終わる確率は

$$ \frac{5}{27}

$$

**(3)**

じゃんけんが $n$ 回以下で終わる確率は

$$ 1-\frac{n+1}{3^n}

$$