基礎問題集
数学A 確率「じゃんけんの確率」の問題3 解説
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解説
方針・初手
複数人のジャンケンでは、出た手が1種類または3種類のときはあいことなり、誰も脱落しない。出た手が2種類のときだけ、一方の手を出した人が勝ち残り、負けた手を出した人が脱落する。
A が最終的な勝者になるには、ある回のジャンケンで A だけが勝ち残ればよい。まず 1 回で A だけが残る確率を求め、次に 1 回目終了後に A が何人の中に残っているかで場合分けする。
解法1
まず、$n$ 人でジャンケンをして、その中に A が含まれているとする。この 1 回で A だけが勝ち残るには、A が出した手に対して、他の $n-1$ 人全員が A に負ける手を出せばよい。
A の手は何でもよく、他の人はそれぞれ A に負ける手を出す必要があるので、その確率は
$$ \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}
$$
である。
したがって、4 人で 1 回のジャンケンをして A がただ 1 人勝ち残る確率は
$$ \left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}
$$
である。
よって、(1) の答えは
$$ \frac{1}{27}
$$
である。
次に、2 回目のジャンケンで A が勝者となる確率を求める。
1 回目の後で A がまだ残っていて、かつ A がまだ勝者になっていない場合を考える。あり得る場合は、次の 3 通りである。
（i） 1 回目があいこで、4 人全員が残る場合
4 人の手がすべて同じ場合は $3$ 通り、3 種類すべての手が出る場合は
$$ 3^4-3-3(2^4-2)=81-3-42=36
$$
通りである。
したがって、あいこの場合は
$$ 3+36=39
$$
通りある。全事象は $3^4=81$ 通りなので、その確率は
$$ \frac{39}{81}=\frac{13}{27}
$$
である。
この場合、2 回目も 4 人で行うので、2 回目で A だけが勝ち残る確率は
$$ \frac{1}{27}
$$
である。
よって、この場合の確率は
$$ \frac{13}{27}\cdot\frac{1}{27}
$$
である。
（ii） 1 回目で A を含む 2 人が勝ち残る場合
A と、B, C, D のうち 1 人が同じ勝つ手を出し、残り 2 人がそれに負ける手を出せばよい。
A の手を固定すると、A と同じ手を出す人の選び方は
$$ {}_{3}\mathrm{C}_{1}=3
$$
通りである。よって確率は
$$ \frac{3}{27}=\frac{1}{9}
$$
である。
この場合、2 回目は 2 人で行うので、A がただ 1 人勝ち残る確率は
$$ \frac{1}{3}
$$
である。
したがって、この場合の確率は
$$ \frac{1}{9}\cdot\frac{1}{3}
$$
である。
（iii） 1 回目で A を含む 3 人が勝ち残る場合
A と、B, C, D のうち 2 人が同じ勝つ手を出し、残り 1 人がそれに負ける手を出せばよい。
A の手を固定すると、A と同じ手を出す人の選び方は
$$ {}_{3}\mathrm{C}_{2}=3
$$
通りである。よって確率は
$$ \frac{3}{27}=\frac{1}{9}
$$
である。
この場合、2 回目は 3 人で行うので、A がただ 1 人勝ち残る確率は
$$ \frac{1}{9}
$$
である。
したがって、この場合の確率は
$$ \frac{1}{9}\cdot\frac{1}{9}
$$
である。
以上より、2 回目のジャンケンで A が勝者となる確率は
$$ \frac{13}{27}\cdot\frac{1}{27} +\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{3} +\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{9}
$$
である。これを計算すると、
$$ \begin{aligned} \frac{13}{729}+\frac{27}{729}+\frac{9}{729} &= \frac{49}{729} \end{aligned} $$
となる。
解説
この問題では、「A が勝つ」だけでなく「A だけが残る」ことが条件である。したがって、1 回のジャンケンで A が勝つ手を出していても、同じ勝つ手を出した人が他にいれば、その時点ではまだ A は勝者ではない。
2 回目で A が勝者になる場合は、1 回目終了時点で A が残っている人数が $4$ 人、$2$ 人、$3$ 人のどれかになる。ここを場合分けして、それぞれで次の 1 回に A だけが勝ち残る確率を掛けるのが基本方針である。
特に、1 回目があいこの場合も 2 回目で A が勝者になる可能性があるため、これを落とさないことが重要である。
答え
**(1)**
$$ \frac{1}{27}
$$
**(2)**
$$ \frac{49}{729}
$$