基礎問題集
数学A 確率「じゃんけんの確率」の問題4 解説
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解説
方針・初手
「あいこ」は、3人が全員同じ手を出す場合と、3人がグー・チョキ・パーを1つずつ出す場合である。
したがって、各小問で
$$ P(\text{あいこ})=P(\text{全員同じ})+P(\text{全員異なる})
$$
として計算する。
解法1
グー，チョキ，パーをそれぞれ $G,T,P$ と表す。
(1)
このとき3人とも同じ確率分布であり、
$$ P(G)=\frac12,\qquad P(T)=\frac16,\qquad P(P)=1-\frac12-\frac16=\frac13
$$
である。
まず、全員同じ手を出す確率は
$$ \left(\frac12\right)^3+\left(\frac16\right)^3+\left(\frac13\right)^3 =\frac18+\frac1{216}+\frac1{27} =\frac{27+1+8}{216} =\frac16
$$
である。
次に、3人が互いに異なる手を出す確率を求める。3人が $G,T,P$ を1つずつ出す並び方は $3!=6$ 通りあり、各並びの確率は
$$ \frac12\cdot\frac16\cdot\frac13=\frac1{36}
$$
である。よって、
$$ P(\text{全員異なる})=6\cdot\frac1{36}=\frac16
$$
である。
したがって、あいこになる確率は
$$ \frac16+\frac16=\frac13
$$
である。
(2)
条件より、Bの確率分布は
$$ B:\left(\frac12,\frac12,0\right)
$$
であり、Cの確率分布は
$$ C:\left(0,\frac12,\frac12\right)
$$
である。
Aの確率分布を
$$ A:(a_1,a_2,1-a_1-a_2)
$$
とおく。
まず、全員同じ手を出す場合を考える。グーはCが出さず、パーはBが出さないので、全員同じになる可能性があるのはチョキだけである。よって、
$$ P(\text{全員同じ}) =a_2\cdot\frac12\cdot\frac12 =\frac{a_2}{4}
$$
である。
次に、全員異なる手を出す場合を考える。確率が $0$ になる場合を除くと、可能な組合せは次の3通りである。
$$ (A,B,C)=(G,T,P),(T,G,P),(P,G,T)
$$
である。したがって、
$$ \begin{aligned} P(\text{全員異なる}) &=a_1\cdot\frac12\cdot\frac12 +a_2\cdot\frac12\cdot\frac12 +(1-a_1-a_2)\cdot\frac12\cdot\frac12\\ &=\frac{a_1+a_2+1-a_1-a_2}{4}\\ &=\frac14 \end{aligned}
$$
である。
よって、あいこになる確率は
$$ \frac{a_2}{4}+\frac14=\frac{1+a_2}{4}
$$
である。
ここで $0\leqq a_2\leqq 1$ であり、最小にするには $a_2=0$ とすればよい。このとき
$$ P(\text{あいこ})_{\min}=\frac{1+0}{4}=\frac14
$$
である。
(3)
条件より、Cはグー・チョキ・パーをそれぞれ等確率で出す。すなわち
$$ C:\left(\frac13,\frac13,\frac13\right)
$$
である。
ここで、AとBがどのような手を出したかを固定して考える。
AとBが同じ手を出した場合、Cもその同じ手を出せば全員同じとなり、あいこになる。Cがその手を出す確率は $\frac13$ である。
AとBが異なる手を出した場合、Cが残り1種類の手を出せば3人が互いに異なる手となり、あいこになる。Cがその残り1種類の手を出す確率も $\frac13$ である。
つまり、AとBの出し方にかかわらず、Cの3通りの手のうち、あいこになる手はちょうど1通りである。したがって、
$$ P(\text{あいこ})=\frac13
$$
である。
よって、あいこにならない確率は
$$ 1-\frac13=\frac23
$$
である。
解説
(1)は、全員同じ場合と全員異なる場合を分けて数えるだけでよい。ただし、全員異なる場合は $3!=6$ 通りの並びがある点に注意する。
(2)では、Aの確率だけが変数である。Bはパーを出さず、Cはグーを出さないので、全員同じになるのはチョキだけである。一方、全員異なる場合の確率は $a_1,a_2$ によらず常に $\frac14$ になる。
(3)では、Cが3つの手を等確率で出すことが本質である。AとBが同じ手でも異なる手でも、Cがあいこにする手は必ず1通りだけなので、あいこの確率は常に $\frac13$ である。
答え
**(1)**
$$ \frac13
$$
**(2)**
$$ \frac14
$$
**(3)**
$$ \frac23
$$