解説

方針・初手

「先に4勝した方が勝者」となるので、試合全体は最大7回で終わる。

(1) は「6回以内に勝者が決まる」の余事象を考えるとよい。6回終わっても勝者が決まっていないのは、両チームが3勝3敗で並んでいる場合だけである。

(2) は、Bチームが第 $n$ 回で4勝目を挙げる場合を、$n=4,5,6,7$ について足し合わせる。

解法1

(1) 1回の対戦でAチームが勝つ確率を $p$ とする。したがって、Bチームが勝つ確率は $1-p$ である。

6回以内に勝者が決まらないためには、6回終了時点でAチームもBチームもまだ4勝していない必要がある。6回の勝敗の合計は6であるから、この場合はAチームが3勝、Bチームが3勝の場合に限られる。

よって、6回終了時点で勝者が決まっていない確率は

$$ \begin{aligned} {}_{6}\mathrm{C}_{3}p^3(1-p)^3 &= 20p^3(1-p)^3 \end{aligned} $$

である。

したがって、6回以内にゲームの勝者が決定する確率は、その余事象を用いて

$$ 1-20p^3(1-p)^3

$$

である。

次に(2)を考える。

1回の対戦でAチームが勝つ確率がBチームのそれの2倍であるから、Bチームが勝つ確率を $q$ とおくと、Aチームが勝つ確率は $2q$ である。

引き分けはないので

$$ q+2q=1

$$

より、

$$ q=\frac{1}{3}

$$

である。したがって、Aチームが勝つ確率は

$$ \frac{2}{3}

$$

である。

Bチームがゲームの勝者となるには、Bチームが4勝目を挙げた時点でゲームが終了する。ゲームが第 $n$ 回で終了するとする。ただし $n=4,5,6,7$ である。

第 $n$ 回でBチームが4勝目を挙げるには、第 $n$ 回はBチームの勝ちであり、その前の $n-1$ 回の中でBチームがちょうど3勝していればよい。

よって、その確率は

$$ {}_{n-1}\mathrm{C}_{3} \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{3}\right)^{n-4}

$$

である。

したがって、求める確率は

$$ \sum_{n=4}^{7} {}_{n-1}\mathrm{C}_{3} \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{3}\right)^{n-4}

$$

である。

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} &\left(\frac{1}{3}\right)^4 \left\{ {}_{3}\mathrm{C}_{3} + {}_{4}\mathrm{C}_{3}\frac{2}{3} + {}_{5}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{2}{3}\right)^2 + {}_{6}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{2}{3}\right)^3 \right\} \\ &= \frac{1}{81} \left\{ 1+4\cdot \frac{2}{3} +10\cdot \frac{4}{9} +20\cdot \frac{8}{27} \right\} \\ &= \frac{1}{81} \left( 1+\frac{8}{3}+\frac{40}{9}+\frac{160}{27} \right) \\ &= \frac{1}{81}\cdot \frac{379}{27} \\ &= \frac{379}{2187}. \end{aligned}

$$

よって、Bチームがゲームの勝者となる確率は

$$ \frac{379}{2187}

$$

である。

解説

「先に4勝」という条件では、終了回が固定されていない。したがって、終了回を分けるか、余事象を使うかが重要である。

(1) は直接、第4回・第5回・第6回で決まる場合を足してもよいが、6回以内に決まらない場合は6回終了時点で $3$ 勝 $3$ 敗の場合だけなので、余事象を使う方が簡潔である。

(2) はBチームが勝者となる場合を、「Bチームが第 $n$ 回で4勝目を挙げる」と見るのが自然である。このとき、最後の1回は必ずBチームの勝ちであり、それ以前にBチームがちょうど3勝している点を押さえる必要がある。

答え

**(1)**

$$ 1-20p^3(1-p)^3

$$

**(2)**

$$ \frac{379}{2187}

$$