解説

方針・初手

ゲームがまだ終了していない確率を考える。特に、2回投げた後に終了していなければ位置は必ず $2,3,4,5,6,7$ のいずれかにある。

このとき、どの位置にいても、次にちょうど $8$ へ到達するサイコロの目はただ1通りである。したがって、2回目以降は「未終了なら次で終了する確率が常に $\dfrac{1}{6}$」という形になる。

解法1

まず $p_2$ を求める。

1回目の出た目を $a$、2回目の出た目を $b$ とする。2回目で初めて $8$ に到達するには

$$ a+b=8

$$

であればよい。ただし $a,b$ はともに $1$ から $6$ までであるから、可能な組は

$$ (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)

$$

の5通りである。全体は $6^2=36$ 通りなので、

$$ p_2=\frac{5}{36}

$$

である。

次に $p_3$ を求める。

2回投げた時点でゲームが終了している確率は $p_2=\dfrac{5}{36}$ であるから、2回投げた時点でまだ終了していない確率は

$$ 1-\frac{5}{36}=\frac{31}{36}

$$

である。

2回投げてまだ終了していないとき、現在位置は $2,3,4,5,6,7$ のいずれかである。位置を $i$ とすると、次にちょうど $8$ に到達するには $8-i$ の目が出ればよい。ここで $i=2,3,4,5,6,7$ なので、$8-i$ は $6,5,4,3,2,1$ のいずれかであり、いずれもサイコロの目として可能である。

したがって、2回終了していないという条件のもとで、3回目に終了する確率は $\dfrac{1}{6}$ である。よって

$$ p_3=\frac{31}{36}\cdot\frac{1}{6} =\frac{31}{216}

$$

である。

次に $n\geqq 4$ の場合を考える。

$2$ 回投げた後に終了していなければ、位置は $2,3,4,5,6,7$ のいずれかである。また、それ以降も、終了していない限り位置は $2,3,4,5,6,7$ の範囲内にある。特に、どの位置にいても、次の1回でちょうど $8$ に到達する目はただ1通りである。

したがって、$k\geqq 2$ に対して、$k$ 回投げた時点でまだ終了していない確率を $q_k$ とおくと、

$$ q_2=\frac{31}{36}

$$

であり、さらに

$$ q_{k+1}=\frac{5}{6}q_k \qquad (k\geqq 2)

$$

が成り立つ。よって

$$ q_k=\frac{31}{36}\left(\frac{5}{6}\right)^{k-2} \qquad (k\geqq 2)

$$

である。

$n$ 回目に終了する確率は、$n-1$ 回投げた時点でまだ終了しており、かつ次の1回でちょうど $8$ に到達する確率である。したがって、$n\geqq 3$ に対して

$$ p_n=q_{n-1}\cdot\frac{1}{6}

$$

である。これに上の式を代入すると、

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{31}{36}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3}\cdot\frac{1}{6} \\ \frac{31}{216}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3} \end{aligned} $$

となる。

したがって、特に $n\geqq 4$ について

$$ p_n=\frac{31}{216}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3}

$$

である。

解説

この問題の要点は、2回投げた後にまだ終了していない場合、現在位置が必ず $2$ 以上 $7$ 以下になることである。

位置 $i$ が $2,3,4,5,6,7$ のいずれかであれば、次にちょうど $8$ へ行く目は $8-i$ の1通りである。したがって、位置の分布を細かく追わなくても、未終了である限り次回終了する条件付き確率が常に $\dfrac{1}{6}$ と分かる。

この性質に気づけば、$n\geqq 4$ の一般項は等比数列として処理できる。

答え

**(1)**

$$ p_2=\frac{5}{36}

$$

**(2)**

$$ p_3=\frac{31}{216}

$$

**(3)**

$n\geqq 4$ に対して

$$ p_n=\frac{31}{216}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3}

$$