解説

方針・初手

Aの中身が操作後も白玉2個・赤玉3個のままであるためには、Aから出ていく玉の色の内訳と、BからAに入ってくる玉の色の内訳が一致すればよい。

(1)では1個ずつ交換するので、取り出した玉の色が同じであればよい。

(2)では2個ずつ交換するので、取り出した2個の中の白玉の個数がAとBで同じであればよい。

解法1

まず(1)を考える。

Aから白玉、Bから白玉を取り出した場合、Aは白玉を1個失って白玉を1個得るので、中身は変わらない。同様に、Aから赤玉、Bから赤玉を取り出した場合も中身は変わらない。

したがって求める確率は

$$ \frac{2}{5}\cdot \frac{3}{5}+\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5}

$$

である。よって

$$ \begin{aligned} \frac{2}{5}\cdot \frac{3}{5}+\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5} &= \frac{6}{25}+\frac{6}{25} \\ \frac{12}{25} \end{aligned} $$

となる。

次に(2)を考える。

Aから取り出す2個に含まれる白玉の個数を $k$ とする。操作後にAの中身が変わらないためには、Bから取り出してAに入る2個にも白玉が $k$ 個含まれていればよい。

Aには白玉2個、赤玉3個が入っているから、Aから2個取り出したときの白玉の個数ごとの確率は次の通りである。

白玉が0個のとき、

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}{{}_{5}\mathrm{C}_{2}} &= \frac{3}{10} \end{aligned} $$

白玉が1個のとき、

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{1}{}_{3}\mathrm{C}_{1}}{{}_{5}\mathrm{C}_{2}} &= \frac{6}{10} \end{aligned} $$

白玉が2個のとき、

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{5}\mathrm{C}_{2}} &= \frac{1}{10} \end{aligned} $$

一方、Bには白玉3個、赤玉2個が入っているから、Bから2個取り出したときの白玉の個数ごとの確率は次の通りである。

白玉が0個のとき、

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{5}\mathrm{C}_{2}} &= \frac{1}{10} \end{aligned} $$

白玉が1個のとき、

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{3}\mathrm{C}_{1}{}_{2}\mathrm{C}_{1}}{{}_{5}\mathrm{C}_{2}} &= \frac{6}{10} \end{aligned} $$

白玉が2個のとき、

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}{{}_{5}\mathrm{C}_{2}} &= \frac{3}{10} \end{aligned} $$

したがって、AとBから取り出した2個の白玉の個数が一致する確率は

$$ \frac{3}{10}\cdot \frac{1}{10} + \frac{6}{10}\cdot \frac{6}{10} + \frac{1}{10}\cdot \frac{3}{10}

$$

である。よって

$$ \begin{aligned} \frac{3}{100}+\frac{36}{100}+\frac{3}{100} &= \frac{42}{100} \\ \frac{21}{50} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題では、交換後のAの状態だけを見るよりも、「Aから出る玉」と「Bから入る玉」の色の内訳を比較する方が整理しやすい。

(1)では1個ずつなので、同じ色を交換すればAの中身は変わらない。

(2)では2個ずつなので、2個のうち白玉が何個あるかで場合分けする。白玉の個数が一致すれば、赤玉の個数も自動的に一致するため、Aの中身は白玉2個・赤玉3個のままである。

答え

**(1)**

$\dfrac{12}{25}$

**(2)**

$\dfrac{21}{50}$