基礎問題集
数学A 確率「確率」の問題12 解説
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解説
方針・初手
各問題で正解を選ぶ確率は $\dfrac{1}{4}$、不正解を選ぶ確率は $\dfrac{3}{4}$ である。
10問のうち正解数を $X$ とすると、$X$ は二項分布
$$ X \sim B\left(10,\frac{1}{4}\right)
$$
に従う。したがって
$$ P(X=k)={}_{10}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{1}{4}\right)^k\left(\frac{3}{4}\right)^{10-k}
$$
を用いればよい。
解法1
まず、$X=k$ となる確率は
$$ P(X=k)={}_{10}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{1}{4}\right)^k\left(\frac{3}{4}\right)^{10-k} =\frac{{}_{10}\mathrm{C}_{k}3^{10-k}}{4^{10}}
$$
である。
ここで
$$ 4^{10}=1048576
$$
である。
（1） ちょうど5問正解する確率
$$ P(X=5)=\frac{{}_{10}\mathrm{C}_{5}3^5}{4^{10}}
$$
である。計算すると
$$ {}_{10}\mathrm{C}_{5}=252,\qquad 3^5=243
$$
より
$$ {}_{10}\mathrm{C}_{5}3^5=252\cdot 243=61236
$$
である。したがって
$$ P(X=5)=\frac{61236}{1048576} =\frac{15309}{262144}
$$
となる。
よって
$$ \text{[ア]}=15309
$$
である。
（2） 正解数が偶数である確率
正解数が偶数であるから、$X=0,2,4,6,8,10$ の場合を足せばよい。
$$ P(X\text{ が偶数}) =\sum_{\substack{k=0\k\text{ 偶数}}}^{10} {}_{10}\mathrm{C}_{k}\left(\frac{1}{4}\right)^k \left(\frac{3}{4}\right)^{10-k}
$$
偶数項の和の公式を用いると、成功確率を $p=\dfrac14$、失敗確率を $q=\dfrac34$ として
$$ P(X\text{ が偶数}) =\frac{(p+q)^{10}+(q-p)^{10}}{2}
$$
である。ここで
$$ p+q=1,\qquad q-p=\frac34-\frac14=\frac12
$$
だから
$$ P(X\text{ が偶数}) =\frac{1+\left(\frac12\right)^{10}}{2} =\frac{1+\frac{1}{1024}}{2} =\frac{1025}{2048}
$$
となる。
よって
$$ \text{[イ]}=1025
$$
である。
（3） 6問以上正解する確率
6問以上正解する確率は
$$ P(X\geqq 6)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)
$$
である。
$$ \begin{aligned} P(X\geqq 6) &= \frac{ {}_{10}\mathrm{C}_{6}3^4+ {}_{10}\mathrm{C}_{7}3^3+ {}_{10}\mathrm{C}_{8}3^2+ {}_{10}\mathrm{C}_{9}3^1+ {}_{10}\mathrm{C}_{10}3^0 }{4^{10}} \end{aligned} $$
各項を計算すると
$$ \begin{aligned} {}_{10}\mathrm{C}_{6}3^4&=210\cdot 81=17010,\\ {}_{10}\mathrm{C}_{7}3^3&=120\cdot 27=3240,\\ {}_{10}\mathrm{C}_{8}3^2&=45\cdot 9=405,\\ {}_{10}\mathrm{C}_{9}3&=10\cdot 3=30,\\ {}_{10}\mathrm{C}_{10}&=1 \end{aligned}
$$
である。したがって分子は
$$ 17010+3240+405+30+1=20686
$$
となる。
よって
$$ P(X\geqq 6)=\frac{20686}{1048576} =\frac{10343}{524288}
$$
である。
したがって
$$ \text{[ウ]}=10343
$$
である。
解説
この問題は、各問で正解確率が一定であり、各問題の選択が独立であるため、正解数を二項分布で扱うのが基本である。
（1） と （3） は、二項分布の確率
$$ P(X=k)={}_{n}\mathrm{C}_{k}p^k(1-p)^{n-k}
$$
をそのまま用いればよい。
（2） は偶数個の確率をすべて足してもよいが、計算量が増える。偶数項の和として
$$ \frac{(p+q)^n+(q-p)^n}{2}
$$
を使うと短く処理できる。
答え
**(1)**
$$ \text{[ア]}=15309
$$
**(2)**
$$ \text{[イ]}=1025
$$
**(3)**
$$ \text{[ウ]}=10343
$$