解説

方針・初手

終了しないためには、2回目以降の各回で「直前と異なる目」が出続ければよい。

したがって、$r$ 回目以内に終了する確率は、その余事象である「$r$ 回目まで一度も同じ目が連続しない確率」を引いて求めるのが自然である。

解法1

さいころを $r$ 回投げたとする。1回目の目は何でもよい。

2回目以降について、終了しないためには毎回直前の目と異なる目が出る必要がある。直前の目と異なる目は $5$ 通りあるので、その確率は各回で

$$ \frac{5}{6}

$$

である。

よって、$r$ 回目まで一度も同じ目が連続しない確率は

$$ \left(\frac{5}{6}\right)^{r-1}

$$

である。

したがって、$r$ 回目以内に終了する確率は

$$ 1-\left(\frac{5}{6}\right)^{r-1}

$$

である。

特に $r=4$ のとき、

$$ \begin{aligned} 1-\left(\frac{5}{6}\right)^3 &= 1-\frac{125}{216} \\ \frac{91}{216} \end{aligned} $$

である。

解法2

$k$ 回目で初めて終了する確率を考える。ただし $k \geqq 2$ とする。

$k$ 回目で初めて終了するためには、2回目から $k-1$ 回目までは直前と異なる目が出続け、$k$ 回目で初めて直前と同じ目が出ればよい。

したがって、その確率は

$$ \left(\frac{5}{6}\right)^{k-2}\cdot \frac{1}{6}

$$

である。

よって、$r$ 回目以内に終了する確率は

$$ \sum_{k=2}^{r} \left(\frac{5}{6}\right)^{k-2}\cdot \frac{1}{6}

$$

である。これは初項 $\frac{1}{6}$、公比 $\frac{5}{6}$ の等比数列の和だから、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=2}^{r} \left(\frac{5}{6}\right)^{k-2}\cdot \frac{1}{6} &= \frac{1}{6} \cdot \frac{1-\left(\frac{5}{6}\right)^{r-1}}{1-\frac{5}{6}} &= 1-\left(\frac{5}{6}\right)^{r-1} \end{aligned} $$

となる。

特に4回目以内に終了する確率は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{6} + \frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6} + \left(\frac{5}{6}\right)^2\cdot\frac{1}{6} &= \frac{36+30+25}{216} \\ \frac{91}{216} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、「終了する場合」を直接数え上げるよりも、「終了しない場合」を考える方が単純である。

1回目は制限がなく、2回目以降は直前の目と異なる $5$ 通りを選び続けるだけなので、余事象の確率がすぐに

$$ \left(\frac{5}{6}\right)^{r-1}

$$

と表せる。

一方、解法2のように「ちょうど $k$ 回目で終了する確率」を求めて等比数列の和にしてもよい。どちらの解法でも、初めて終了できるのは2回目である点に注意する。

答え

**(1)**

$$ \frac{91}{216}

$$

**(2)**

$$ 1-\left(\frac{5}{6}\right)^{r-1}

$$