解説

方針・初手

3個を同時に取り出すので、順序を考えず組合せで数える。

全事象は、12個の玉から3個を選ぶ場合であるから、

$$ {}_{12}C_3=220

$$

である。

解法1

（1） 3個とも赤玉である場合を数える。

赤玉5個の中から3個を選べばよいので、有利な場合の数は

$$ {}_{5}C_3=10

$$

である。したがって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{{}*{5}C_3}{{}*{12}C_3} &= \frac{10}{220} \\ \frac{1}{22} \end{aligned} $$

である。

（2） 3個とも色が異なるとは、赤玉・白玉・青玉をそれぞれ1個ずつ取り出すことである。

赤玉の選び方が ${}*{5}C_1$ 通り、白玉の選び方が ${}*{4}C_1$ 通り、青玉の選び方が ${}_{3}C_1$ 通りであるから、有利な場合の数は

$$ \begin{aligned} {}*{5}C_1{}*{4}C_1{}_{3}C_1 &= 5\cdot 4\cdot 3 \\ 60 \end{aligned} $$

である。よって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{60}{220} &= \frac{3}{11} \end{aligned} $$

である。

（3） 3個の玉の色が2種類であるとは、3個の中にちょうど2種類の色が含まれることである。

全体から、「1種類だけの場合」と「3種類すべて異なる場合」を除いて求める。

1種類だけの場合は、3個とも赤、3個とも白、3個とも青の場合であるから、その場合の数は

$$ \begin{aligned} {}*{5}C_3+{}*{4}C_3+{}_{3}C_3 &= 10+4+1 \\ 15 \end{aligned} $$

である。

また、3種類すべて異なる場合の数は、(2)より

$$ 60

$$

である。

したがって、ちょうど2種類になる場合の数は

$$ 220-15-60=145

$$

である。よって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{145}{220} &= \frac{29}{44} \end{aligned} $$

である。

解法2

(3)について、2種類の色の組合せごとに直接数えることもできる。

赤玉と白玉だけを含む場合は、赤5個・白4個の合計9個から3個を選び、3個とも赤または3個とも白の場合を除けばよい。よって

$$ \begin{aligned} {}*{9}C_3-{}*{5}C_3-{}_{4}C_3 &= 84-10-4 \\ 70 \end{aligned} $$

である。

赤玉と青玉だけを含む場合は、

$$ \begin{aligned} {}*{8}C_3-{}*{5}C_3-{}_{3}C_3 &= 56-10-1 \\ 45 \end{aligned} $$

である。

白玉と青玉だけを含む場合は、

$$ \begin{aligned} {}*{7}C_3-{}*{4}C_3-{}_{3}C_3 &= 35-4-1 \\ 30 \end{aligned} $$

である。

したがって、ちょうど2種類になる場合の数は

$$ 70+45+30=145

$$

であるから、確率は

$$ \begin{aligned} \frac{145}{220} &= \frac{29}{44} \end{aligned} $$

である。

解説

同時に取り出す問題では、取り出す順序を区別しないため、組合せで数えるのが基本である。

(2)は「3色すべてが1個ずつ」と言い換えると数えやすい。

(3)の「色が2種類」は「ちょうど2種類」であり、「1種類だけ」や「3種類すべて」は含まれない。この条件の読み違いが最も起こりやすい。全体から不要な場合を引く方法が最も簡潔である。

答え

**(1)**

$$ \frac{1}{22}

$$

**(2)**

$$ \frac{3}{11}

$$

**(3)**

$$ \frac{29}{44}

$$