解説

方針・初手

数字 $1,2,3$ が書かれたカードの枚数をそれぞれ文字でおく。2枚を同時に引くので、全事象は $24$ 枚から $2$ 枚を選ぶ組合せとして数える。

解法1

数字 $1,2,3$ が書かれたカードの枚数をそれぞれ $x,y,z$ 枚とする。このとき

$$ x+y+z=24

$$

である。

2枚の数の和が $3$ になるのは、引いた2枚が $1$ と $2$ の組であるときに限る。したがって、その場合の数は $xy$ 通りである。

また、全体の場合の数は

$$ {}_{24}\mathrm{C}_{2}=276

$$

であるから、

$$ \frac{xy}{276}=\frac{20}{69}

$$

となる。よって

$$ xy=276\cdot \frac{20}{69}=80

$$

である。

次に、2枚の数の積が $6$ になるのは、引いた2枚が $2$ と $3$ の組であるときに限る。したがって、その場合の数は $yz$ 通りであり、

$$ \frac{yz}{276}=\frac{5}{23}

$$

となる。よって

$$ yz=276\cdot \frac{5}{23}=60

$$

である。

以上より

$$ x=\frac{80}{y}, \qquad z=\frac{60}{y}

$$

である。これを $x+y+z=24$ に代入すると、

$$ \frac{80}{y}+y+\frac{60}{y}=24

$$

となる。両辺に $y$ をかけて、

$$ 80+y^2+60=24y

$$

すなわち

$$ y^2-24y+140=0

$$

である。

これを因数分解すると、

$$ (y-10)(y-14)=0

$$

より、

$$ y=10,\ 14

$$

である。

ただし、カードの枚数 $x,z$ は整数でなければならない。$y=10$ のとき、

$$ x=\frac{80}{10}=8,\qquad z=\frac{60}{10}=6

$$

となり、すべて整数である。

一方、$y=14$ のとき、

$$ x=\frac{80}{14}=\frac{40}{7},\qquad z=\frac{60}{14}=\frac{30}{7}

$$

となり、整数でないため不適である。

したがって、数字の $1$ が書かれているカードの枚数は

$$ x=8

$$

である。

解説

この問題では、2枚を同時に引くので、順序を区別せずに ${}_{24}\mathrm{C}_{2}$ 通りで数えるのが自然である。

和が $3$ になる組は $(1,2)$ だけ、積が $6$ になる組は $(2,3)$ だけであるため、それぞれの確率から $xy=80,\ yz=60$ という2つの積の条件が得られる。あとは全体の枚数 $x+y+z=24$ と組み合わせて解けばよい。

最後に、カードの枚数は整数でなければならないため、方程式の解をそのまま採用せず、整数条件を確認する必要がある。

答え

数字の $1$ が書かれているカードは

$$ 8\text{枚}

$$