解説

方針・初手

「$n$ 回目で終わる」とは、$n$ 回目までに初めて表が $500$ 回連続するということである。

$n \geqq 501$ のとき、最後の $500$ 回、すなわち第 $n-499$ 回から第 $n$ 回まではすべて表であり、その直前の第 $n-500$ 回は裏でなければならない。さらに、それ以前の第 $1$ 回から第 $n-501$ 回までには、表が $500$ 回連続していてはいけない。

この「それ以前に $500$ 連続の表が出ていない確率」を置いて整理する。

解法1

第 $m$ 回までに表が $500$ 回連続していない確率を $q(m)$ とおく。ただし、$q(0)=1$ とする。

$n \geqq 501$ のとき、この反復試行が $n$ 回目で終わるためには、

• 第 $1$ 回から第 $n-501$ 回までに表が $500$ 回連続していない
• 第 $n-500$ 回が裏である
• 第 $n-499$ 回から第 $n$ 回までの $500$ 回がすべて表である

ことが必要十分である。

したがって、

$$ p(n)=q(n-501)\left(\frac{1}{2}\right)^{501}

$$

である。

(1)

$501 \leqq n \leqq 1000$ のとき、

$$ 0 \leqq n-501 \leqq 499

$$

である。$499$ 回以下の試行では、表が $500$ 回連続することはありえないので、

$$ q(n-501)=1

$$

である。

よって、

$$ p(n)=\left(\frac{1}{2}\right)^{501}

$$

となる。したがって、$501 \leqq n \leqq 1000$ の範囲では $p(n)$ は $n$ によらず一定であり、その値は

$$ \frac{1}{2^{501}}

$$

である。

(2)

まず、

$$ p(1001)=q(500)\left(\frac{1}{2}\right)^{501}

$$

である。

$500$ 回の試行で表が $500$ 回連続するのは、$500$ 回すべて表の場合だけであるから、

$$ q(500)=1-\frac{1}{2^{500}}

$$

である。よって、

$$ p(1001)=\left(1-\frac{1}{2^{500}}\right)\frac{1}{2^{501}}

$$

である。

次に、

$$ p(1002)=q(501)\left(\frac{1}{2}\right)^{501}

$$

である。

$501$ 回の試行の中に表が $500$ 回連続している列を数える。これは、

• 第 $1$ 回から第 $500$ 回までがすべて表
• 第 $2$ 回から第 $501$ 回までがすべて表

のいずれかである。

該当する列は

$$ \underbrace{HH\cdots H}*{501\text{回}}, \quad \underbrace{HH\cdots H}*{500\text{回}}T, \quad T\underbrace{HH\cdots H}_{500\text{回}}

$$

の $3$ 通りである。したがって、

$$ q(501)=1-\frac{3}{2^{501}}

$$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} p(1002)-p(1001) &=\left(1-\frac{3}{2^{501}}\right)\frac{1}{2^{501}} -\left(1-\frac{1}{2^{500}}\right)\frac{1}{2^{501}} \\ &=\left(\frac{1}{2^{500}}-\frac{3}{2^{501}}\right)\frac{1}{2^{501}} \\ &=\left(\frac{2}{2^{501}}-\frac{3}{2^{501}}\right)\frac{1}{2^{501}} \\ &=-\frac{1}{2^{1002}}. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ p(1002)-p(1001)=-\frac{1}{2^{1002}}

$$

である。

(3)

$1002 \leqq n \leqq 1500$ とする。

先ほどの式

$$ p(n)=q(n-501)\frac{1}{2^{501}}

$$

より、

$$ p(n+1)=q(n-500)\frac{1}{2^{501}}

$$

である。したがって、

$$ p(n+1)-p(n)={q(n-500)-q(n-501)}\frac{1}{2^{501}}

$$

となる。

ここで、$q(m-1)-q(m)$ は、第 $m$ 回で初めて表が $500$ 回連続する確率である。つまり、

$$ q(m)-q(m-1)=-p(m)

$$

である。

いま $m=n-500$ とおくと、$1002 \leqq n \leqq 1500$ より、

$$ 502 \leqq m \leqq 1000

$$

である。この範囲では、(1) より

$$ p(m)=\frac{1}{2^{501}}

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} p(n+1)-p(n) &={q(n-500)-q(n-501)}\frac{1}{2^{501}} \\ &=-p(n-500)\frac{1}{2^{501}} \\ &=-\frac{1}{2^{501}}\cdot \frac{1}{2^{501}} \\ &=-\frac{1}{2^{1002}}. \end{aligned}

$$

よって、$1002 \leqq n \leqq 1500$ のとき、

$$ p(n+1)-p(n)=-\frac{1}{2^{1002}}

$$

である。

解説

この問題では、「最後の $500$ 回が表」という条件だけでは不十分である。$n$ 回目で初めて終わるためには、その直前が裏であること、さらにそれ以前に表が $500$ 回連続していないことを確認する必要がある。

そこで、補助的に $q(m)$ を置くと、$p(n)$ を

$$ p(n)=q(n-501)\frac{1}{2^{501}}

$$

と表せる。この形にすれば、(1) は $n-501 \leqq 499$ だから $q(n-501)=1$ とすぐに分かる。

(3) では $p(n+1)-p(n)$ を直接数えるより、$q(m)$ の差を使うのが自然である。$q(m-1)-q(m)$ は「第 $m$ 回で初めて $500$ 連続の表が出る確率」、すなわち $p(m)$ そのものになる。この対応に気づくと、(1) の結果をそのまま利用できる。

答え

**(1)**

$$ p(n)=\frac{1}{2^{501}}

$$

したがって、$501 \leqq n \leqq 1000$ で $p(n)$ は $n$ によらず一定である。

**(2)**

$$ p(1002)-p(1001)=-\frac{1}{2^{1002}}

$$

**(3)**

$$ p(n+1)-p(n)=-\frac{1}{2^{1002}} \qquad (1002 \leqq n \leqq 1500)

$$