解説

方針・初手

カードを区別して考えると、3枚の取り出し方の総数は ${}_{10}\mathrm{C}_{3}$ 通りである。

取り出した $1$ 点、$5$ 点、$10$ 点のカードの枚数をそれぞれ $x,y,z$ とすると、

$$ x+y+z=3

$$

であり、点数の合計は

$$ N=x+5y+10z

$$

となる。したがって、$(x,y,z)$ の場合分けで数えればよい。

解法1

3枚のカードの取り出し方の総数は

$$ {}_{10}\mathrm{C}_{3}=120

$$

である。

$1$ 点のカードを $x$ 枚、$5$ 点のカードを $y$ 枚、$10$ 点のカードを $z$ 枚取るとする。このとき、その取り出し方は

$$ {}_{5}\mathrm{C}_{x}{}_{3}\mathrm{C}_{y}{}_{2}\mathrm{C}_{z}

$$

通りである。

可能な場合を点数の合計ごとに数える。

**(i)**

$z=0$ のとき、$x+y=3$ である。

$$ \begin{aligned} (x,y,z)=(3,0,0)&\Rightarrow N=3,\quad {}_{5}\mathrm{C}_{3}=10,\\ (x,y,z)=(2,1,0)&\Rightarrow N=7,\quad {}_{5}\mathrm{C}_{2}{}_{3}\mathrm{C}_{1}=30,\\ (x,y,z)=(1,2,0)&\Rightarrow N=11,\quad {}_{5}\mathrm{C}_{1}{}_{3}\mathrm{C}_{2}=15,\\ (x,y,z)=(0,3,0)&\Rightarrow N=15,\quad {}_{3}\mathrm{C}_{3}=1. \end{aligned}

$$

**(ii)**

$z=1$ のとき、$x+y=2$ である。

$$ \begin{aligned} (x,y,z)=(2,0,1)&\Rightarrow N=12,\quad {}_{5}\mathrm{C}_{2}{}_{2}\mathrm{C}_{1}=20,\\ (x,y,z)=(1,1,1)&\Rightarrow N=16,\quad {}_{5}\mathrm{C}_{1}{}_{3}\mathrm{C}_{1}{}_{2}\mathrm{C}_{1}=30,\\ (x,y,z)=(0,2,1)&\Rightarrow N=20,\quad {}_{3}\mathrm{C}_{2}{}_{2}\mathrm{C}_{1}=6. \end{aligned}

$$

**(iii)**

$z=2$ のとき、$x+y=1$ である。

$$ \begin{aligned} (x,y,z)=(1,0,2)&\Rightarrow N=21,\quad {}_{5}\mathrm{C}_{1}{}_{2}\mathrm{C}_{2}=5,\\ (x,y,z)=(0,1,2)&\Rightarrow N=25,\quad {}_{3}\mathrm{C}_{1}{}_{2}\mathrm{C}_{2}=3. \end{aligned}

$$

まず、$N<10$ となるのは $N=3,7$ の場合である。したがって、

$$ p_1=\frac{10+30}{120}=\frac{40}{120}=\frac{1}{3}

$$

である。

次に、$N\geqq 20$ となるのは $N=20,21,25$ の場合である。したがって、

$$ p_2=\frac{6+5+3}{120}=\frac{14}{120}=\frac{7}{60}

$$

である。

また、$10\leqq N<20$ となるのは $N=11,12,15,16$ の場合である。したがって、

$$ p_3=\frac{15+20+1+30}{120}=\frac{66}{120}=\frac{11}{20}

$$

である。

最後に、3枚とも同じ点数となる場合を数える。3枚とも $1$ 点である場合と、3枚とも $5$ 点である場合がある。$10$ 点のカードは2枚しかないので、3枚とも $10$ 点にはならない。

よって、

$$ p_4=\frac{{}_{5}\mathrm{C}_{3}+{}_{3}\mathrm{C}_{3}}{{}_{10}\mathrm{C}_{3}} =\frac{10+1}{120} =\frac{11}{120}

$$

である。

解説

この問題では、カードを取り出す順序は点数の合計に影響しないので、順列ではなく組合せで数えるのが自然である。

重要なのは、$1$ 点、$5$ 点、$10$ 点のカードをそれぞれ何枚取ったかで分類することである。直接点数の和だけを追うと漏れが出やすいが、$(x,y,z)$ とおけば全場合を整理して数えられる。

特に、3枚とも同じ点数の場合では、$10$ 点のカードが2枚しかないことに注意する必要がある。

答え

**(1)**

$$ p_1=\frac{1}{3}

$$

**(2)**

$$ p_2=\frac{7}{60}

$$

**(3)**

$$ p_3=\frac{11}{20}

$$

**(4)**

$$ p_4=\frac{11}{120}

$$