解説

方針・初手

失敗するたびに、取り出した2球は袋に戻され、さらに赤球が1個追加される。したがって、成功するまで白球の個数は常に2個のままで、失敗の回数だけ赤球が1個ずつ増えていく。

よって、$k$ 回目の試行時点で袋の中に何個の赤球があるかを整理し、各回の「失敗確率」と「成功確率」を掛け合わせればよい。

解法1

最初、袋の中には白球が2個、赤球が1個入っている。

1回失敗するごとに赤球が1個増えるので、$k$ 回目の試行の直前には、白球が2個、赤球が $k$ 個入っている。したがって、袋の中の球の総数は $k+2$ 個である。

$k$ 回目に成功する確率は、2個の白球をともに取り出す確率だから、

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{k+2}\mathrm{C}_{2}} &= \frac{1}{\frac{(k+2)(k+1)}{2}} \\ \frac{2}{(k+1)(k+2)} \end{aligned} $$

である。

したがって、$k$ 回目に失敗する確率は、

$$ \begin{aligned} 1-\frac{2}{(k+1)(k+2)} &= \frac{(k+1)(k+2)-2}{(k+1)(k+2)} \end{aligned} $$

である。分子を整理すると、

$$ \begin{aligned} (k+1)(k+2)-2 &= k^2+3k \\ k(k+3) \end{aligned} $$

より、$k$ 回目に失敗する確率は

$$ \frac{k(k+3)}{(k+1)(k+2)}

$$

である。

求める確率は、1回目から $n-1$ 回目まで失敗し、$n$ 回目に成功する確率であるから、

$$ \left\{ \prod_{k=1}^{n-1} \frac{k(k+3)}{(k+1)(k+2)} \right\} \cdot \frac{2}{(n+1)(n+2)}

$$

である。

ここで積を整理する。

$$ \begin{aligned} \prod_{k=1}^{n-1} \frac{k(k+3)}{(k+1)(k+2)} &= \left(\prod_{k=1}^{n-1}\frac{k}{k+1}\right) \left(\prod_{k=1}^{n-1}\frac{k+3}{k+2}\right) \end{aligned} $$

それぞれ、

$$ \begin{aligned} \prod_{k=1}^{n-1}\frac{k}{k+1} &= \frac{1}{n} \end{aligned} $$

であり、

$$ \begin{aligned} \prod_{k=1}^{n-1}\frac{k+3}{k+2} &= \frac{4}{3}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{6}{5}\cdots\frac{n+2}{n+1} \\ \frac{n+2}{3} \end{aligned} $$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} \prod_{k=1}^{n-1} \frac{k(k+3)}{(k+1)(k+2)} &= \frac{1}{n}\cdot\frac{n+2}{3} \\ \frac{n+2}{3n} \end{aligned} $$

となる。

したがって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{n+2}{3n}\cdot\frac{2}{(n+1)(n+2)} &= \frac{2}{3n(n+1)} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の要点は、失敗しても白球の個数は変わらず、赤球だけが1個ずつ増える点である。

$k$ 回目の直前には白球2個、赤球 $k$ 個になっているため、各回の成功確率は一定ではない。したがって、単純な反復試行ではなく、各回ごとの確率を掛ける必要がある。

また、積

$$ \prod_{k=1}^{n-1} \frac{k(k+3)}{(k+1)(k+2)}

$$

はそのまま計算するのではなく、

$$ \frac{k}{k+1}\cdot\frac{k+3}{k+2}

$$

と分けることで、前後の項が消える形になる。

答え

求める確率は

$$ \frac{2}{3n(n+1)}

$$

である。