解説

方針・初手

各回の操作では、カードを戻してから次を引くので、各桁の数字は独立に $1,2,3,4$ のいずれかを等確率でとる。

したがって、5桁の各位に入る数字の並びは全部で

$$ 4^5

$$

通りある。あとは、5個の位置のうち、指定された数字が何回現れるかを数えればよい。

解法1

まず全事象の数は

$$ 4^5=1024

$$

である。

（1） 数字 $1$ がちょうど $2$ 回現れる場合を考える。

5つの桁のうち、数字 $1$ が入る位置を $2$ か所選ぶ方法は

$$ {}_{5}\mathrm{C}_{2}

$$

通りである。残りの $3$ か所には $1$ 以外の数字、すなわち $2,3,4$ のいずれかが入るので、それぞれ $3$ 通りずつある。

よって、条件を満たす並びの数は

$$ {}_{5}\mathrm{C}_{2}3^3=10\cdot 27=270

$$

ではなく、ここで注意が必要である。残りの $3$ か所は確かに $2,3,4$ のいずれかでよいので、条件を満たす並びは

$$ {}_{5}\mathrm{C}_{2}3^3=270

$$

通りである。

したがって求める確率は

$$ \frac{270}{4^5}=\frac{270}{1024}=\frac{135}{512}

$$

である。

（2） 数字 $1$ と数字 $2$ がちょうど $1$ 回ずつ現れる場合を考える。

まず数字 $1$ の位置を $5$ 通りで選び、次に数字 $2$ の位置を残り $4$ 通りで選ぶ。残りの $3$ か所には、数字 $1,2$ は使えないので、$3,4$ のいずれかが入る。

よって条件を満たす並びの数は

$$ 5\cdot 4\cdot 2^3=160

$$

である。

したがって求める確率は

$$ \frac{160}{4^5}=\frac{160}{1024}=\frac{5}{32}

$$

である。

（3） ちょうど $2$ 回現れる数字が $1$ 種類以上ある場合を考える。

5回の抽出における各数字 $1,2,3,4$ の出現回数に着目する。出現回数の型のうち、どれかの数字がちょうど $2$ 回現れるものは次の3種類である。

（i） 出現回数の型が $3,2,0,0$ の場合

$3$ 回現れる数字を選ぶ方法が $4$ 通り、$2$ 回現れる数字を選ぶ方法が $3$ 通りである。並べ方は

$$ \frac{5!}{3!2!}=10

$$

通りである。

よって、この場合の並びの数は

$$ 4\cdot 3\cdot 10=120

$$

通りである。

（ii） 出現回数の型が $2,2,1,0$ の場合

$2$ 回現れる数字を $4$ 種類から $2$ 種類選ぶ方法が

$$ {}_{4}\mathrm{C}_{2}=6

$$

通りである。さらに、$1$ 回現れる数字を残りの $2$ 種類から選ぶので $2$ 通りである。

並べ方は

$$ \frac{5!}{2!2!1!}=30

$$

通りである。

よって、この場合の並びの数は

$$ 6\cdot 2\cdot 30=360

$$

通りである。

（iii） 出現回数の型が $2,1,1,1$ の場合

$2$ 回現れる数字を選ぶ方法は $4$ 通りである。並べ方は

$$ \frac{5!}{2!}=60

$$

通りである。

よって、この場合の並びの数は

$$ 4\cdot 60=240

$$

通りである。

以上より、条件を満たす並びの数は

$$ 120+360+240=720

$$

通りである。

したがって求める確率は

$$ \frac{720}{4^5}=\frac{720}{1024}=\frac{45}{64}

$$

である。

解説

この問題では、カードを取り出すたびに元に戻すので、各桁は独立に $1,2,3,4$ のいずれかになる。この点を押さえれば、5回の抽出は「$1,2,3,4$ からなる長さ $5$ の列を作る問題」と見なせる。

（1） と （2） は、指定された数字が入る位置を選び、残りの位置に入る数字の選択肢を数えればよい。

（3） は、特定の数字ではなく「ちょうど $2$ 回現れる数字がある」という条件なので、出現回数の型で分類するのが自然である。型を $3,2,0,0$、$2,2,1,0$、$2,1,1,1$ に分けることで、重複なく数えられる。

答え

**(1)**

$$ \frac{135}{512}

$$

**(2)**

$$ \frac{5}{32}

$$

**(3)**

$$ \frac{45}{64}

$$