解説

方針・初手

1番目から6番目の数をそれぞれ $a_1,a_2,\dots,a_6$ とおく。

条件は

$$ a_1+a_2+a_3=a_3+a_4+a_5

$$

である。両辺に共通する $a_3$ を消すと、

$$ a_1+a_2=a_4+a_5

$$

となる。したがって、問題は「1番目・2番目の組」と「4番目・5番目の組」の和が等しくなる並べ方を数えることに帰着される。

解法1

まず、$1$ から $6$ までの数から作れる2個組の和を調べる。

和ごとの組は次の通りである。

$$ \begin{aligned} 3 &: (1,2) \\ 4 &: (1,3) \\ 5 &: (1,4),(2,3) \\ 6 &: (1,5),(2,4) \\ 7 &: (1,6),(2,5),(3,4) \\ 8 &: (2,6),(3,5) \\ 9 &: (3,6),(4,5) \\ 10 &: (4,6) \\ 11 &: (5,6) \end{aligned}

$$

このうち、同じ和をもつ異なる2組を選べるのは、和が $5,6,7,8,9$ の場合である。

それぞれについて、異なる2組の選び方は

$$ {}_{2}\mathrm{C}_{2}+{}_{2}\mathrm{C}_{2}+{}_{3}\mathrm{C}_{2}+{}_{2}\mathrm{C}_{2}+{}_{2}\mathrm{C}_{2} =1+1+3+1+1=7

$$

通りである。

ここで選ばれた2組を、$a_1,a_2$ の組と $a_4,a_5$ の組に割り当てる方法は $2$ 通りである。

また、それぞれの組の中で順序を入れ替えられるので、

$$ 2^2=4

$$

通りである。

さらに、使われていない2個の数のうち、どちらを $a_3$ に置くかは $2$ 通りであり、最後に残った数が $a_6$ に決まる。

したがって、条件を満たす並べ方は

$$ 7 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 2=112

$$

通りである。

一方、$1$ から $6$ までの数を重複なく1列に並べる総数は

$$ 6!=720

$$

通りである。

よって、求める確率は

$$ \frac{112}{720}=\frac{7}{45}

$$

である。

解説

この問題では、最初に $a_3$ が両辺に共通していることに気づくのが重要である。条件式をそのまま扱うと3個ずつの和を考えたくなるが、実際には

$$ a_1+a_2=a_4+a_5

$$

だけを調べればよい。

そのため、核心は「同じ和をもつ2個組を2つ選ぶ」ことである。ただし、数字は重複して使えないので、同じ組を2回使うことはできない。今回は $1$ から $6$ の2個組を和ごとに分類すると、条件を満たす組の選び方が $7$ 通りあると分かる。

その後は、組の割り当て、組内の順序、$a_3$ の選び方を掛け合わせればよい。

答え

$$ \frac{7}{45}

$$