解説

方針・初手

同時に $3$ 枚を取り出すので、順序を考えずに組合せで数える。

$n$ 枚のクラブを加えた後は、赤のカードはハート $13$ 枚、黒のカードはスペード $13$ 枚とクラブ $n$ 枚の合計 $13+n$ 枚である。したがって、$P_n$ は「赤を $1$ 枚、黒を $2$ 枚」選ぶ確率として表せる。

最大値は、$P_{n+1}/P_n$ を調べて単調性を見る。

解法1

**(1)**

全体の取り出し方は、$26$ 枚から $3$ 枚を選ぶので

$$ {}_{26}\mathrm{C}_{3}

$$

通りである。

ハートが $2$ 枚、スペードが $1$ 枚である取り出し方は、ハート $13$ 枚から $2$ 枚、スペード $13$ 枚から $1$ 枚を選ぶので

$$ {}_{13}\mathrm{C}_{2}{}_{13}\mathrm{C}_{1}

$$

通りである。よって

$$ P=\frac{{}_{13}\mathrm{C}_{2}{}_{13}\mathrm{C}_{1}}{{}_{26}\mathrm{C}_{3}}

$$

である。計算すると

$$ P=\frac{78\cdot 13}{2600} =\frac{1014}{2600} =\frac{39}{100}

$$

となる。

**(2)**

取り出したカードをもとに戻したあと、クラブを $n$ 枚加える。すると、カードの総数は $26+n$ 枚である。

このとき、赤のマークはハートのみなので $13$ 枚、黒のマークはスペードとクラブなので $13+n$ 枚である。

全体の取り出し方は

$$ {}_{26+n}\mathrm{C}_{3}

$$

通りである。

赤が $1$ 枚、黒が $2$ 枚である取り出し方は

$$ {}_{13}\mathrm{C}_{1}{}_{13+n}\mathrm{C}_{2}

$$

通りである。したがって

$$ P_n=\frac{{}_{13}\mathrm{C}_{1}{}_{13+n}\mathrm{C}_{2}}{{}_{26+n}\mathrm{C}_{3}}

$$

である。これを整理すると

$$ \begin{aligned} P_n &=\frac{13\cdot \dfrac{(n+13)(n+12)}{2}}{\dfrac{(n+26)(n+25)(n+24)}{6}}\\ &=\frac{39(n+13)(n+12)}{(n+26)(n+25)(n+24)} \end{aligned}

$$

となる。

**(3)**

$P_n$ の最大を調べるために、隣り合う比を考える。

$$ \begin{aligned} \frac{P_{n+1}}{P_n} &= \frac{39(n+14)(n+13)}{(n+27)(n+26)(n+25)} \cdot \frac{(n+26)(n+25)(n+24)}{39(n+13)(n+12)}\\ &= \frac{(n+14)(n+24)}{(n+27)(n+12)} \end{aligned}

$$

よって、$P_{n+1}>P_n$ となる条件は

$$ (n+14)(n+24)>(n+27)(n+12)

$$

である。両辺を展開すると

$$ n^2+38n+336>n^2+39n+324

$$

となるので、

$$ 12>n

$$

である。

したがって、$1\leq n\leq 13$ において

$$ \begin{cases} P_{n+1}>P_n & (1\leq n\leq 11)\\ P_{n+1}=P_n & (n=12)\\ P_{n+1}<P_n & (n\geq 13) \end{cases}

$$

である。ただし、今回の範囲では $n$ は $13$ までなので、最大になるのは

$$ n=12,\ 13

$$

である。

最大値は、例えば $n=13$ を代入して求めると

$$ \begin{aligned} P_{13} &= \frac{39\cdot 26\cdot 25}{39\cdot 38\cdot 37} \\ \frac{26\cdot 25}{38\cdot 37} \\ \frac{650}{1406} \\ \frac{325}{703} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、「ハートとスペード」という具体名に引きずられず、最終的には赤と黒の枚数を整理することが重要である。

(2) ではクラブを加えるので、黒のカードの枚数は $13+n$ 枚になる。一方、赤のカードはハート $13$ 枚のままである。この整理を間違えると、$P_n$ の式全体がずれる。

(3) では $P_n$ を直接展開して最大値を探すより、$P_{n+1}/P_n$ を調べる方が計算が軽い。隣り合う比を見れば、$P_n$ が増加する範囲、減少する範囲、等しくなる点がはっきり分かる。

答え

**(1)**

$$ P=\frac{39}{100}

$$

**(2)**

$$ \begin{aligned} P_n=\frac{{}_{13}\mathrm{C}_{1}{}_{13+n}\mathrm{C}_{2}}{{}_{26+n}\mathrm{C}_{3}} &= \frac{39(n+13)(n+12)}{(n+26)(n+25)(n+24)} \end{aligned} $$

**(3)**

$$ P_n

$$

を最大にする $n$ は

$$ n=12,\ 13

$$

であり、そのとき

$$ P_n=\frac{325}{703}

$$