解説

方針・初手

カードを2枚順に引くので、起こり得る場合は $(a,b)$ の順序付きの組として数える。全事象は、$a,b$ が $2$ から $16$ までの異なる整数であるから、

$$ 15\cdot 14=210

$$

通りである。

また、底 $a$ は常に $a>1$ なので、対数不等式は指数不等式にそのまま直せる。

解法1

**(1)**

$$ \log_a b>1

$$

は、$a>1$ より

$$ b>a

$$

と同値である。

$2,3,\dots,16$ の15個の整数から異なる2つを選び、小さい方を $a$、大きい方を $b$ とすればよい。したがって条件を満たす組は

$$ {}_{15}C_2=105

$$

通りである。

よって求める確率は

$$ \frac{105}{210}=\frac{1}{2}

$$

である。

**(2)**

$$ \log_a b>2

$$

は、$a>1$ より

$$ b>a^2

$$

と同値である。

$b$ は最大でも $16$ なので、$a^2<16$ となる $a$ だけを調べればよい。

$a=2$ のとき、$b>4$ だから

$$ b=5,6,\dots,16

$$

で、$12$ 通り。

$a=3$ のとき、$b>9$ だから

$$ b=10,11,\dots,16

$$

で、$7$ 通り。

$a\geqq 4$ のときは $a^2\geqq 16$ であり、$b>a^2$ を満たす $b$ は存在しない。

したがって条件を満たす組は

$$ 12+7=19

$$

通りである。

よって求める確率は

$$ \frac{19}{210}

$$

である。

**(3)**

$2\log_a b$ が整数であるとする。この整数を $n$ とおくと、

$$ 2\log_a b=n

$$

より

$$ b=a^{n/2}

$$

である。

また、$2\leqq a,b\leqq 16$ なので

$$ 0<\log_a b\leqq \log_2 16=4

$$

であり、

$$ 1\leqq n\leqq 8

$$

を調べればよい。ただし、$n=2$ のときは $b=a$ となるが、同じカードは2回引けないので除く。

**(i) $n$ が偶数の場合**

$n=2r$ とおくと、

$$ b=a^r

$$

である。

$n=2$、すなわち $r=1$ は $b=a$ なので不適である。したがって $r\geqq 2$ を考える。

$r=2$ のとき、

$$ b=a^2\leqq 16

$$

より、

$$ (a,b)=(2,4),(3,9),(4,16)

$$

の3通り。

$r=3$ のとき、

$$ b=a^3\leqq 16

$$

より、

$$ (a,b)=(2,8)

$$

の1通り。

$r=4$ のとき、

$$ b=a^4\leqq 16

$$

より、

$$ (a,b)=(2,16)

$$

の1通り。

$r\geqq 5$ では $2^5=32>16$ なので存在しない。

よって、$n$ が偶数の場合は

$$ 3+1+1=5

$$

通りである。

**(ii) $n$ が奇数の場合**

$n=2r+1$ とおくと、

$$ b=a^r\sqrt{a}

$$

である。$b$ が整数となるには、$a$ が平方数でなければならない。

$2\leqq a\leqq 16$ の平方数は

$$ 4,9,16

$$

である。

$n=1$ のとき、

$$ b=\sqrt{a}

$$

なので、

$$ (a,b)=(4,2),(9,3),(16,4)

$$

の3通り。

$n=3$ のとき、

$$ b=a\sqrt{a}

$$

であり、

$$ (a,b)=(4,8)

$$

のみが条件を満たす。

$n\geqq 5$ のときは、最小の $a=4$ でも

$$ 4^{5/2}=32>16

$$

となるため、存在しない。

よって、$n$ が奇数の場合は

$$ 3+1=4

$$

通りである。

したがって、$2\log_a b$ が整数となる組は

$$ 5+4=9

$$

通りである。

よって求める確率は

$$ \frac{9}{210}=\frac{3}{70}

$$

である。

解説

この問題では、2枚のカードを順に引くため、$(a,b)$ を順序付きの組として数えることが重要である。全事象を ${}_{15}C_2$ としてしまうと、$a$ と $b$ の役割を区別できず誤りになる。

(1), (2) は、底 $a$ が必ず $1$ より大きいことから、対数不等式を指数不等式に直せばよい。

(3) は、$2\log_a b$ が整数であることを

$$ \log_a b=\frac{n}{2}

$$

と置き換え、$b=a^{n/2}$ が整数になる場合を調べる。特に、$n$ が奇数のときは $\sqrt{a}$ が現れるため、$a$ が平方数である必要がある点が重要である。

答え

**(1)**

$$ \frac{1}{2}

$$

**(2)**

$$ \frac{19}{210}

$$

**(3)**

$$ \frac{3}{70}

$$