解説

方針・初手

全事象は、さいころを3回投げる結果 $(l,m,n)$ の組であり、総数は $6^3=216$ 通りである。

（1） は $(x+1)^2$ で割り切れる条件を、$x=-1$ が重解である条件に言い換える。

（2） は3次関数が極大値と極小値をともにもつ条件を、導関数が異なる2つの実数解をもつ条件に言い換える。

解法1

**(1)**

$(x+1)^2$ で $f(x)$ が割り切れるための必要十分条件は、$x=-1$ が $f(x)$ の重解であることである。したがって

$$ f(-1)=0,\qquad f'(-1)=0

$$

を満たせばよい。

まず

$$ f(x)=x^3+lx^2+mx+n

$$

より、

$$ f(-1)=-1+l-m+n

$$

であるから、

$$ -1+l-m+n=0

$$

すなわち

$$ m=l+n-1

$$

である。

また、

$$ f'(x)=3x^2+2lx+m

$$

より、

$$ f'(-1)=3-2l+m

$$

であるから、

$$ 3-2l+m=0

$$

すなわち

$$ m=2l-3

$$

である。

よって

$$ l+n-1=2l-3

$$

となるので、

$$ n=l-2

$$

である。

ここで $l,m,n$ はいずれも $1$ 以上 $6$ 以下の整数である。条件

$$ n=l-2,\qquad m=2l-3

$$

を満たす $l$ を調べる。

$l=3,4,5,6$ のとき $n$ は $1,2,3,4$ となるが、このとき $m$ はそれぞれ

$$ 3,5,7,9

$$

である。$m$ が $1$ 以上 $6$ 以下であるのは $l=3,4$ のときだけである。

したがって条件を満たす組は

$$ (l,m,n)=(3,3,1),(4,5,2)

$$

の2通りである。

よって求める確率は

$$ \frac{2}{216}=\frac{1}{108}

$$

である。

（2） 関数 $y=f(x)$ が極大値と極小値をともにもつためには、導関数 $f'(x)$ が異なる2つの実数解をもてばよい。

導関数は

$$ f'(x)=3x^2+2lx+m

$$

である。この2次方程式が異なる2つの実数解をもつ条件は、判別式が正であることである。

したがって

$$ (2l)^2-4\cdot 3\cdot m>0

$$

より、

$$ 4l^2-12m>0

$$

すなわち

$$ l^2>3m

$$

である。

$n$ はこの条件に関係しないので、まず $(l,m)$ の組を数える。

$l=1,2,3,4,5,6$ について、条件 $l^2>3m$ を満たす $m$ の個数を調べる。

$$ \begin{array}{c|c|c} l & l^2>3m の条件 & m の個数 \\ \hline 1 & m<\frac{1}{3} & 0 \\ 2 & m<\frac{4}{3} & 1 \\ 3 & m<3 & 2 \\ 4 & m<\frac{16}{3} & 5 \\ 5 & m<\frac{25}{3} & 6 \\ 6 & m<12 & 6 \end{array}

$$

したがって、条件を満たす $(l,m)$ の組は

$$ 0+1+2+5+6+6=20

$$

通りである。

$n$ は $1$ から $6$ まで自由に選べるので、条件を満たす $(l,m,n)$ の組は

$$ 20\cdot 6=120

$$

通りである。

よって求める確率は

$$ \frac{120}{216}=\frac{5}{9}

$$

である。

解説

（1） では、$(x+1)^2$ で割り切れることを「$x=-1$ が重解である」と見抜くのが要点である。単に $f(-1)=0$ だけでは $(x+1)$ で割り切れる条件にすぎず、$(x+1)^2$ で割り切れるには $f'(-1)=0$ も必要である。

（2） では、3次関数そのものを詳しく調べるのではなく、導関数の符号変化を見る。3次関数が極大値と極小値をともにもつには、導関数である2次式が異なる2つの実数解をもつ必要がある。そのため、判別式が正であることだけを調べればよい。

答え

**(1)**

$$ \frac{1}{108}

$$

**(2)**

$$ \frac{5}{9}

$$