解説

方針・初手

$X_1<X_2<X_3$ となるには、3枚の札に書かれた番号がすべて異なり、かつ小さい順に取り出される必要がある。

札そのものは同じ番号でも2枚ずつ存在するので、番号だけでなく「実際の札」を区別して数えると処理しやすい。

解法1

札は全部で $2n$ 枚あるので、3枚を順に取り出す場合の総数は

$$ {}_{2n}P_3=(2n)(2n-1)(2n-2)

$$

である。

次に、$X_1<X_2<X_3$ となる取り出し方を数える。

まず、取り出される3つの番号を $a<b<c$ とする。このような番号の選び方は

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{3}

$$

通りである。

番号が $a,b,c$ と決まったとき、$X_1=a,\ X_2=b,\ X_3=c$ となる必要がある。各番号の札は2枚ずつあるので、実際にどの札を取るかはそれぞれ2通りずつあり、

$$ 2^3=8

$$

通りである。

したがって、条件を満たす取り出し方の数は

$$ 8{}_{n}\mathrm{C}_{3}

$$

である。

よって求める確率は

$$ \frac{8{}_{n}\mathrm{C}_{3}}{(2n)(2n-1)(2n-2)}

$$

となる。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} \frac{8{}_{n}\mathrm{C}_{3}}{(2n)(2n-1)(2n-2)} &= \frac{8\cdot \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}}{(2n)(2n-1)(2n-2)}\\ &= \frac{\dfrac{4}{3}n(n-1)(n-2)}{2n(2n-1)\cdot 2(n-1)}\\ &= \frac{\dfrac{4}{3}n(n-1)(n-2)}{4n(n-1)(2n-1)}\\ &= \frac{n-2}{3(2n-1)}. \end{aligned}

$$

したがって、求める確率は

$$ \frac{n-2}{3(2n-1)}

$$

である。

解法2

まず、3枚の札に書かれた番号がすべて異なる確率を求める。

1枚目は何を取ってもよい。1枚目の番号と異なる番号の札は $2n-2$ 枚あるので、2枚目が1枚目と異なる番号である確率は

$$ \frac{2n-2}{2n-1}

$$

である。

さらに、1枚目・2枚目の番号が異なるとき、その2種類の番号の札は合計4枚あり、そのうちすでに2枚を取っている。残りの札 $2n-2$ 枚のうち、これら2種類と異なる番号の札は $2n-4$ 枚である。したがって、3枚目も異なる番号である確率は

$$ \frac{2n-4}{2n-2}

$$

である。

よって、3枚の番号がすべて異なる確率は

$$ \begin{aligned} \frac{2n-2}{2n-1}\cdot \frac{2n-4}{2n-2} &= \frac{2n-4}{2n-1} \\ \frac{2(n-2)}{2n-1} \end{aligned} $$

である。

3つの番号がすべて異なるとき、その3つの番号の並び方は $3!=6$ 通りあり、対称性によりどの順序も同じ確率で起こる。したがって、そのうち $X_1<X_2<X_3$ となるのは1通りだけである。

よって求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{6}\cdot \frac{2(n-2)}{2n-1} &= \frac{n-2}{3(2n-1)} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、同じ番号の札が2枚ずつあるため、単純に「3つの番号を選んで並べる」と考えると重複の扱いを誤りやすい。

解法1では、札そのものを区別して数えることで、重複を自然に処理している。番号 $a<b<c$ を選んだあと、それぞれの番号について2枚のうちどちらを取るかを $2^3$ 通りと数えるのが要点である。

解法2では、「3枚の番号がすべて異なる確率」を先に求め、そのうえで6通りの順序のうち小さい順になる確率を掛けている。条件付きで順序が対称になることを使うため、計算は短くなる。

答え

$$ \frac{n-2}{3(2n-1)}

$$