解説

方針・初手

取り出した数字の並びを $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ とする。各 $a_i$ は $1$ から $9$ までのいずれかであり、すべての並びは等確率で、全体は $9^n$ 通りである。

前半は和 $X=a_1+\cdots+a_n$ の合同類を数える。後半は最大値 $9n$ からどれだけ不足しているかを考える。

解法1

まず、$X$ が偶数となる確率を求める。

$n$ 回の記録後に、和が偶数である並びの個数を $E_n$、奇数である並びの個数を $O_n$ とする。$1$ から $9$ のうち偶数は $4$ 個、奇数は $5$ 個であるから、

$$ E_n+O_n=9^n

$$

である。

また、偶奇は奇数を足したときだけ反転するので、$E_n-O_n$ に着目すると、

$$ E_{n+1}-O_{n+1}=-(E_n-O_n)

$$

となる。$E_0=1,\ O_0=0$ とおけば、

$$ E_n-O_n=(-1)^n

$$

である。よって、

$$ E_n=\frac{9^n+(-1)^n}{2}

$$

となる。したがって、$X$ が偶数となる確率は

$$ \begin{aligned} \frac{E_n}{9^n} &= \frac{9^n+(-1)^n}{2\cdot 9^n} \end{aligned} $$

である。

次に、$X$ を $10$ で割った余りで分類する。

$n$ 回の記録後に、和が $10$ で割り切れる並びの個数を $A_n$、和が $10$ で割って $0$ でない各余りになる並びの個数をそれぞれ $B_n$ とする。数字 $1,2,\ldots,9$ は、$10$ を法として $0$ 以外の余りをちょうど1回ずつ表すので、対称性により $0$ でない各余りの個数は等しい。

したがって、

$$ A_n+9B_n=9^n

$$

である。

次に $A_n-B_n$ を調べる。和の余りが $0$ になるには、直前の余りが $0$ 以外で、それを打ち消す数字を引く必要があるから、

$$ A_{n+1}=9B_n

$$

である。また、和の余りがある固定された $0$ でない余りになるには、直前の余りが $0$ である場合が $A_n$ 通り、直前の余りがその余り以外の $0$ でない余りである場合が $8B_n$ 通りある。よって、

$$ B_{n+1}=A_n+8B_n

$$

である。したがって、

$$ A_{n+1}-B_{n+1}=9B_n-(A_n+8B_n)=-(A_n-B_n)

$$

となる。$A_0=1,\ B_0=0$ とおけば、

$$ A_n-B_n=(-1)^n

$$

である。

これと $A_n+9B_n=9^n$ を連立すると、

$$ A_n=\frac{9^n+9(-1)^n}{10},\qquad B_n=\frac{9^n-(-1)^n}{10}

$$

を得る。

$X$ が $10$ で割り切れる確率は

$$ \begin{aligned} \frac{A_n}{9^n} &= \frac{9^n+9(-1)^n}{10\cdot 9^n} \end{aligned} $$

である。

また、$X$ が $2$ でも $5$ でも割り切れないとは、$X$ を $10$ で割った余りが

$$ 1,\ 3,\ 7,\ 9

$$

のいずれかになることである。これらはすべて $0$ でない余りなので、それぞれ $B_n$ 通りである。よって、その確率は

$$ \begin{aligned} \frac{4B_n}{9^n} &= \frac{4}{9^n}\cdot \frac{9^n-(-1)^n}{10} \\ \frac{2{9^n-(-1)^n}}{5\cdot 9^n} \end{aligned} $$

である。

次に、和が $9n-2$ となる並びの個数を求める。

各 $a_i$ について

$$ b_i=9-a_i

$$

とおくと、$a_i$ は $1$ から $9$ まで動くので、$b_i$ は $0$ から $8$ まで動く。和が $9n-2$ であることは、

$$ a_1+\cdots+a_n=9n-2

$$

であり、これは

$$ (9-a_1)+\cdots+(9-a_n)=2

$$

すなわち

$$ b_1+\cdots+b_n=2

$$

と同値である。

右辺が $2$ なので、各 $b_i\leqq 8$ という上限は問題にならない。したがって、非負整数解の個数は

$$ \begin{aligned} {}_{n+2-1}\mathrm{C}_{2} &= {}_{n+1}\mathrm{C}_{2} \\ \frac{n(n+1)}{2} \end{aligned} $$

である。

最後に $n=3$ の場合を考える。和が $25$ 以上であることは、最大値 $27$ からの不足分が $2$ 以下であることと同値である。

つまり、

$$ b_1+b_2+b_3\leqq 2

$$

を満たす非負整数解の個数を数えればよい。これは

$$ \begin{aligned} {}_{3+2}\mathrm{C}_{2} &= {}_{5}\mathrm{C}_{2} \\ 10 \end{aligned} $$

通りである。

全体は $9^3=729$ 通りであるから、和が $24$ 以下である確率は、和が $25$ 以上である場合の余事象を考えて、

$$ \begin{aligned} 1-\frac{10}{729} &= \frac{719}{729} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、同じ操作を繰り返しているので、記録される数字の並びを直接数えるのが基本である。

前半では、偶奇や $10$ で割った余りだけが問題になるため、数字そのものではなく合同類で分類すると処理しやすい。特に $1$ から $9$ は、$10$ を法として $0$ 以外の余りをすべて1回ずつ含むため、$10$ を法とする分類では対称性が強く使える。

後半では、和が最大値 $9n$ に近いので、各項を $9$ からどれだけ下げたかで考えるのが自然である。和が $9n-2$ や $25$ 以上のように最大値に近い条件では、不足分を使うと場合分けが少なくなる。

答え

$$ \boxed{\text{ハ}=\frac{9^n+(-1)^n}{2\cdot 9^n}}

$$

$$ \boxed{\text{ヒ}=\frac{2{9^n-(-1)^n}}{5\cdot 9^n}}

$$

$$ \boxed{\text{フ}=\frac{9^n+9(-1)^n}{10\cdot 9^n}}

$$

$$ \boxed{\text{ヘ}=\frac{n(n+1)}{2}}

$$

$$ \boxed{\text{ホ}=10}

$$

$$ \boxed{\text{マ}=\frac{719}{729}}

$$