解説

方針・初手

1回目のカードを戻してから2回目を引くので、$(a,b)$ は $1\leqq a\leqq 20,\ 1\leqq b\leqq 20$ を満たす順序つきの組として考えられる。

したがって、全事象の個数は

$$ 20\cdot 20=400

$$

である。 公約数に関する問題は「ともにその数で割り切れる」という条件に直し、和や最小値に関する問題は条件を満たす順序つきの組を数える。

解法1

**(1)**

$a,b$ が $2$ を公約数にもつとは、$a,b$ がともに $2$ の倍数であるということである。 $1$ から $20$ までの $2$ の倍数は

$$ 2,4,\dots,20

$$

の $10$ 個であるから、この場合の組は

$$ 10^2=100

$$

個である。

同様に、$3$ の倍数は

$$ 3,6,\dots,18

$$

の $6$ 個であるから、$a,b$ がともに $3$ の倍数である組は

$$ 6^2=36

$$

個である。

ただし、$a,b$ がともに $2$ の倍数かつ $3$ の倍数である場合、すなわちともに $6$ の倍数である場合を二重に数えている。 $1$ から $20$ までの $6$ の倍数は

$$ 6,12,18

$$

の $3$ 個なので、この組は

$$ 3^2=9

$$

個である。

よって求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{100+36-9}{400} &= \frac{127}{400} \end{aligned} $$

である。

**(2)**

$a,b$ が $2$ または $3$ または $5$ を公約数にもつとは、$a,b$ がともに $2$ の倍数、またはともに $3$ の倍数、またはともに $5$ の倍数であるということである。

$1$ から $20$ までの $2,3,5$ の倍数の個数はそれぞれ

$$ 10,\ 6,\ 4

$$

である。

したがって、単純に足すと

$$ 10^2+6^2+4^2=100+36+16

$$

である。

ここで重複を除く。 ともに $2$ と $3$ の公倍数、すなわち $6$ の倍数である場合は $3$ 個から選ぶので

$$ 3^2=9

$$

個である。

ともに $2$ と $5$ の公倍数、すなわち $10$ の倍数である場合は $2$ 個から選ぶので

$$ 2^2=4

$$

個である。

ともに $3$ と $5$ の公倍数、すなわち $15$ の倍数である場合は $1$ 個から選ぶので

$$ 1^2=1

$$

個である。

また、$2,3,5$ すべての公倍数は $30$ の倍数であるが、$1$ から $20$ までには存在しない。

よって条件を満たす組の個数は

$$ 100+36+16-9-4-1=138

$$

である。

したがって求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{138}{400} &= \frac{69}{200} \end{aligned} $$

である。

**(3)**

$a+b=n$ となる組を数える。

$2\leqq n\leqq 21$ のとき、$a$ は

$$ 1,2,\dots,n-1

$$

の $n-1$ 通りであり、それぞれに対して $b=n-a$ が $1$ 以上 $20$ 以下に定まる。 よって組の個数は $n-1$ 個である。

一方、$22\leqq n\leqq 40$ のときは、$a+b=n$ で $1\leqq a,b\leqq 20$ となる組の個数は、和が最大値 $40$ に近づくにつれて減る。 具体的には

$$ a=n-b

$$

と考えると、$b$ は

$$ n-20,\ n-19,\dots,20

$$

を動くので、個数は

$$ 20-(n-20)+1=41-n

$$

である。

したがって、求める確率は

$$ \begin{cases} \dfrac{n-1}{400} & (2\leqq n\leqq 21),\\[6pt] \dfrac{41-n}{400} & (22\leqq n\leqq 40) \end{cases}

$$

である。

また、まとめて書けば

$$ \frac{20-|n-21|}{400}

$$

である。

**(4)**

$a,b$ の最小値が $n$ であるとは、

$$ a\geqq n,\quad b\geqq n

$$

であり、さらに少なくとも一方が $n$ であるということである。

まず、$a\geqq n,\ b\geqq n$ となる組の個数を数える。 $n$ 以上 $20$ 以下の整数は

$$ 21-n

$$

個あるので、この条件を満たす組は

$$ (21-n)^2

$$

個である。

このうち、最小値が $n$ より大きいもの、すなわち

$$ a\geqq n+1,\quad b\geqq n+1

$$

を満たす組を除けばよい。 $n+1$ 以上 $20$ 以下の整数は

$$ 20-n

$$

個あるから、その組は

$$ (20-n)^2

$$

個である。

よって、$\min(a,b)=n$ となる組の個数は

$$ (21-n)^2-(20-n)^2

$$

である。これを整理すると

$$ \begin{aligned} (21-n)^2-(20-n)^2 &= {(21-n)-(20-n)}{(21-n)+(20-n)} \\ 41-2n \end{aligned} $$

である。

したがって求める確率は

$$ \frac{41-2n}{400}

$$

である。

解説

この問題では、カードを戻して引くため、$(a,b)$ を $400$ 個の順序つきの組として数えるのが基本である。

（1）、（2） は「公約数にもつ」を「ともにその数の倍数である」と言い換えることが重要である。複数の条件があるため、重複を避けるために包除原理を使う。

（3） は和が一定の格子点の個数を数える問題である。$n=21$ までは個数が増え、$n=22$ からは減るため、場合分けが必要である。

（4） は「最小値がちょうど $n$」を直接数えてもよいが、「両方とも $n$ 以上」から「両方とも $n+1$ 以上」を引くと簡潔に求められる。

答え

**(1)**

$$ \frac{127}{400}

$$

**(2)**

$$ \frac{69}{200}

$$

**(3)**

$$ \begin{cases} \dfrac{n-1}{400} & (2\leqq n\leqq 21),\\[6pt] \dfrac{41-n}{400} & (22\leqq n\leqq 40) \end{cases}

$$

**(4)**

$$ \frac{41-2n}{400}

$$