解説

方針・初手

2回とも外れる確率を、外れくじの本数から直接求める。

当たりくじが $n$ 本なので、外れくじは $15-n$ 本である。1回目に外れを引いた後は、残り $14$ 本のうち外れくじは $14-n$ 本になる。

解法1

2回とも外れる確率は

$$ \frac{15-n}{15}\cdot \frac{14-n}{14}

$$

である。したがって

$$ \frac{(15-n)(14-n)}{210}

$$

となる。

よって、(1)の答えは

$$ \frac{(15-n)(14-n)}{210}

$$

である。

次に、2回とも外れる確率が $\frac{3}{7}$ であるとする。このとき

$$ \frac{(15-n)(14-n)}{210}=\frac{3}{7}

$$

であるから、

$$ (15-n)(14-n)=90

$$

となる。

ここで $15-n=m$ とおくと、$14-n=m-1$ であるから、

$$ m(m-1)=90

$$

である。

$$ 10\cdot 9=90

$$

より、$m=10$ である。したがって

$$ 15-n=10

$$

となるので、

$$ n=5

$$

である。

最後に、2回とも外れる確率が $\frac{1}{2}$ 以上である条件を考える。

$$ \frac{(15-n)(14-n)}{210}\geqq \frac{1}{2}

$$

より、

$$ (15-n)(14-n)\geqq 105

$$

である。

再び $m=15-n$ とおくと、

$$ m(m-1)\geqq 105

$$

となる。

整数 $m$ について調べると、

$$ 10\cdot 9=90<105

$$

であり、

$$ 11\cdot 10=110\geqq 105

$$

である。

したがって $m\geqq 11$、すなわち

$$ 15-n\geqq 11

$$

であるから、

$$ n\leqq 4

$$

となる。よって、条件を満たす $n$ の最大値は

$$ 4

$$

である。

解説

この問題では、当たりくじではなく外れくじの本数に注目するのが自然である。

1回目に外れを引く確率は $\frac{15-n}{15}$、その後、くじを戻さないため、2回目に外れを引く確率は $\frac{14-n}{14}$ となる。この「戻さない」という条件により、2回目の分母と分子がどちらも $1$ ずつ減る点が重要である。

また、(2)と(3)では $15-n=m$ とおくと、式が $m(m-1)$ の形になり、整数として扱いやすくなる。

答え

**(1)**

$$ \frac{(15-n)(14-n)}{210}

$$

**(2)**

$$ n=5

$$

**(3)**

$$ 4

$$