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数学A 確率「確率」の問題84 解説
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解説
方針・初手
出た目の最小公倍数がある値になるには、すべての出た目がその値の約数でなければならない。
サイコロの出た目は $1,2,3,4,5,6$ であり、全事象は
$$ 6^n
$$
通りである。以下では、条件を満たす列の個数を数えてから $6^n$ で割る。
解法1
まず、$m=2$ となる場合を考える。
最小公倍数が $2$ であるためには、出た目はすべて $2$ の約数、すなわち $1,2$ のいずれかであり、さらに少なくとも1回は $2$ が出る必要がある。
したがって、条件を満たす列の個数は
$$ 2^n-1
$$
である。よって
$$ P(m=2)=\frac{2^n-1}{6^n}
$$
である。
次に、$m=4$ となる場合を考える。
最小公倍数が $4$ であるためには、出た目はすべて $4$ の約数のうちサイコロで出るもの、すなわち $1,2,4$ のいずれかであり、さらに少なくとも1回は $4$ が出る必要がある。
したがって、条件を満たす列の個数は
$$ 3^n-2^n
$$
である。よって
$$ P(m=4)=\frac{3^n-2^n}{6^n}
$$
である。
次に、$m=6$ となる場合を考える。
最小公倍数が $6$ であるためには、出た目はすべて $6$ の約数、すなわち $1,2,3,6$ のいずれかである必要がある。そのうえで、素因数 $2$ と $3$ の両方が最小公倍数に現れなければならない。
$1,2,3,6$ のみからなる列は $4^n$ 通りである。このうち、素因数 $2$ が現れない列は $1,3$ のみからなる列で $2^n$ 通り、素因数 $3$ が現れない列は $1,2$ のみからなる列で $2^n$ 通りである。
ただし、両方に重複して数えられているのは、すべて $1$ の列の $1$ 通りである。よって条件を満たす列の個数は
$$ \begin{aligned} 4^n-2^n-2^n+1 &= 4^n-2^{n+1}+1 \end{aligned} $$
である。したがって
$$ P(m=6)=\frac{4^n-2^{n+1}+1}{6^n}
$$
である。
最後に、$m$ がサイコロの出た目の1つと等しくなる確率を求める。
この条件が成り立つとき、$m$ 自身が出た目なので、$m$ は $1,2,3,4,5,6$ のいずれかである。それぞれの場合を数える。
**(i)**
$m=1$ の場合、すべての出た目が $1$ であるから、$1$ 通りである。
**(ii)**
$m=2$ の場合、出た目は $1,2$ のいずれかで、少なくとも1回 $2$ が出るから、$2^n-1$ 通りである。
**(iii)**
$m=3$ の場合、出た目は $1,3$ のいずれかで、少なくとも1回 $3$ が出るから、$2^n-1$ 通りである。
**(iv)**
$m=4$ の場合、出た目は $1,2,4$ のいずれかで、少なくとも1回 $4$ が出るから、$3^n-2^n$ 通りである。
**(v)**
$m=5$ の場合、出た目は $1,5$ のいずれかで、少なくとも1回 $5$ が出るから、$2^n-1$ 通りである。
**(vi)**
$m=6$ の場合、$m$ が出た目の1つと等しくなるためには、少なくとも1回 $6$ が出なければならない。また、他の出た目は $6$ の約数である $1,2,3,6$ のいずれかでなければならない。
したがって、この場合の列の個数は
$$ 4^n-3^n
$$
である。
以上より、条件を満たす列の総数は
$$ \begin{aligned} &1+(2^n-1)+(2^n-1)+(3^n-2^n)+(2^n-1)+(4^n-3^n) \\ &=4^n+2^{n+1}-2 \end{aligned}
$$
である。よって求める確率は
$$ \frac{4^n+2^{n+1}-2}{6^n}
$$
である。
解説
最小公倍数がある値 $k$ になるためには、すべての出た目が $k$ の約数であることが必要である。そのうえで、$k$ を作るために必要な素因数がそろっているかを確認する。
特に $m=6$ では、必ずしも $6$ が出る必要はない。たとえば $2$ と $3$ が出れば最小公倍数は $6$ になる。この点が、(4) の「$m$ が出た目の1つと等しい」という条件との違いである。
答え
**(1)**
$$ \frac{2^n-1}{6^n}
$$
**(2)**
$$ \frac{3^n-2^n}{6^n}
$$
**(3)**
$$ \frac{4^n-2^{n+1}+1}{6^n}
$$
**(4)**
$$ \frac{4^n+2^{n+1}-2}{6^n}
$$