解説

方針・初手

3回の取り出しは順序つきで考える。全事象は

$$ n^3

$$

通りである。

図形 $D$ は、選ばれた円周上の点の個数によって、1点・線分・三角形に分かれる。また、円に内接する三角形が直角三角形となる条件、二等辺三角形となる条件を、正 $n$ 角形の頂点の並びで数える。

解法1

**(1)**

$D$ が1点となるのは、3回とも同じ番号を引くときである。番号の選び方は $n$ 通りなので、その確率は

$$ \frac{n}{n^3}=\frac{1}{n^2}

$$

である。

$D$ が線分となるのは、選ばれた点がちょうど2種類であるときである。2つの番号の選び方は ${}_{n}\mathrm{C}_{2}$ 通りであり、その2つがともに現れるような3回の並びは

$$ 2^3-2=6

$$

通りである。よって場合の数は

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{2}\cdot 6=3n(n-1)

$$

であるから、確率は

$$ \frac{3n(n-1)}{n^3}=\frac{3(n-1)}{n^2}

$$

である。

$D$ が三角形となるのは、選ばれた点がすべて異なるときである。円周上の異なる3点は三角形をつくるので、場合の数は

$$ n(n-1)(n-2)

$$

である。したがって確率は

$$ \begin{aligned} \frac{n(n-1)(n-2)}{n^3} &= \frac{(n-1)(n-2)}{n^2} \end{aligned} $$

である。

**(2)**

$n$ が偶数のとき、円周上の $n$ 個の点には直径の両端となる組が

$$ \frac{n}{2}

$$

組ある。

円に内接する三角形が直角三角形となるのは、その一辺が円の直径となるときである。したがって、まず直径の両端となる2点を選び、残りの1点をそれ以外の点から選べばよい。

直径の選び方は $\dfrac{n}{2}$ 通り、残りの1点の選び方は $n-2$ 通りである。これでできる3点の集合は

$$ \frac{n}{2}(n-2)

$$

通りである。

ただし、実際には $k_1,k_2,k_3$ は順序つきなので、各三角形に対して $3!$ 通りの並びがある。よって場合の数は

$$ \frac{n}{2}(n-2)\cdot 6=3n(n-2)

$$

である。

したがって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{3n(n-2)}{n^3} &= \frac{3(n-2)}{n^2} \end{aligned} $$

である。

**(3)**

$n$ が6の倍数であるとする。二等辺三角形は、通常通り正三角形も含めて数える。

まず、頂点の集合として二等辺三角形を数える。ある頂点を頂角の頂点として固定する。この頂点から左右に同じだけ離れた2点を選べば、二等辺三角形ができる。

$n$ が偶数なので、固定した頂点からの距離として選べるのは

$$ 1,2,\dots,\frac{n}{2}-1

$$

である。距離 $\dfrac{n}{2}$ の点はただ1点しかなく、左右の2点を作れないため除く。

したがって、頂角の頂点と距離の選び方による数え上げは

$$ \begin{aligned} n\left(\frac{n}{2}-1\right) &= \frac{n(n-2)}{2} \end{aligned} $$

通りである。

ここで、正三角形でない二等辺三角形は、頂角の頂点がただ1つに決まるので1回だけ数えられる。一方、正三角形は3つの頂点のどれを頂角と見ても二等辺三角形になるため、3回ずつ数えられている。

$n$ が6の倍数であるから、円周上の点を3等分してできる正三角形が存在する。正三角形の個数は

$$ \frac{n}{3}

$$

個である。

よって、二等辺三角形の頂点集合の個数は、正三角形の重複分を補正して

$$ \begin{aligned} \frac{n(n-2)}{2}-2\cdot \frac{n}{3} &= \frac{n(3n-10)}{6} \end{aligned} $$

である。

各三角形に対して、$k_1,k_2,k_3$ の順序は $3!$ 通りあるので、場合の数は

$$ \begin{aligned} \frac{n(3n-10)}{6}\cdot 6 &= n(3n-10) \end{aligned} $$

である。

したがって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{n(3n-10)}{n^3} &= \frac{3n-10}{n^2} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、カードの取り出しは順序つきで数えるのが基本である。したがって、全体を常に $n^3$ 通りとして扱うと整理しやすい。

（1） は、選ばれた点の種類数だけを見ればよい。円周上の異なる3点は必ず三角形を作るので、3点が一直線に並ぶ場合を別に考える必要はない。

（2） は、円周角の定理を使う。円に内接する三角形が直角三角形になる条件は、斜辺が直径であることに尽きる。

（3） は、二等辺三角形を頂角の頂点から数えるのが自然である。ただし、正三角形は3回数えられるため、そこだけ補正が必要である。この重複処理を落とすと答えがずれる。

答え

**(1)**

$D$ が1点となる確率は

$$ \frac{1}{n^2}

$$

である。

$D$ が線分となる確率は

$$ \frac{3(n-1)}{n^2}

$$

である。

$D$ が三角形となる確率は

$$ \frac{(n-1)(n-2)}{n^2}

$$

である。

**(2)**

$$ \frac{3(n-2)}{n^2}

$$

**(3)**

$$ \frac{3n-10}{n^2}

$$